Um projétil é disparado horizontalmente de uma arma que está a 45,0 m acima de um terreno plano, saindo da arma com uma velocidade de 250 m/s.
a) por quanto tempo o projétil permanece no ar?
b) a que distância horizontal do ponto de disparo o projétil se choca com o solo?
c) qual módulo da componente vertical da velocidade quando o projétil se choca ao solo? Um carro que se move a 80 km/h está a 4,0 m de distância de um muro quando o motorista freia. O carro bate no muro 2,00 s depois.
a) qual era o módulo da aceleração constante do carro antes do choque?
b) qual era a velocidade do carro no momento do choque?
a) por quanto tempo o projétil permanece no ar?
b) a que distância horizontal do ponto de disparo o projétil se choca com o solo?
c) qual módulo da componente vertical da velocidade quando o projétil se choca ao solo? Um carro que se move a 80 km/h está a 4,0 m de distância de um muro quando o motorista freia. O carro bate no muro 2,00 s depois.
a) qual era o módulo da aceleração constante do carro antes do choque?
b) qual era a velocidade do carro no momento do choque?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes principais: a primeira fala sobre um projétil sendo disparado horizontalmente de uma certa altura, e a segunda trata de um carro que está freando e bate no muro. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos sem considerar as causas desse movimento. Vamos resolver cada pergunta passo a passo, explicando cada conceito que usamos.
Primeira Parte: Projétil
a) Por quanto tempo o projétil permanece no ar?
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o projétil. Ele é disparado horizontalmente, ou seja, sem velocidade inicial na direção vertical. A altura de queda é de 45,0 metros, e queremos saber quanto tempo ele leva para cair essa distância até o solo.
Nesse caso, como a velocidade horizontal não afeta o tempo de queda, podemos focar apenas no movimento vertical, que é uma queda livre sob a aceleração da gravidade.
A fórmula que usamos para calcular o tempo de queda quando a velocidade inicial vertical é zero é:
Onde:
- $ h $ é a altura (45,0 m)
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $)
- $ t $ é o tempo que queremos encontrar
Vamos isolar $ t $:
Passo 3
Substituindo os valores:
Passo 4
Então, o projétil permanece no ar por aproximadamente 3,03 segundos.
b) A que distância horizontal do ponto de disparo o projétil se choca com o solo?
Passo 5
Agora que sabemos que o projétil está no ar por cerca de 3,03 segundos, podemos calcular a distância horizontal percorrida. Como a velocidade horizontal é constante (não há aceleração na direção horizontal), usamos a fórmula:
Onde:
- $ d $ é a distância horizontal
- $ v $ é a velocidade horizontal (250 m/s)
- $ t $ é o tempo de voo (3,03 s)
Passo 6
Calculando:
Passo 7
Então, o projétil atinge o solo a uma distância horizontal de aproximadamente 757,5 metros do ponto de disparo.
c) Qual módulo da componente vertical da velocidade quando o projétil se choca ao solo?
Passo 8
Para encontrar a velocidade vertical no momento do impacto, usamos a fórmula da velocidade em queda livre:
Onde:
- $ v $ é a velocidade vertical
- $ g $ é a aceleração da gravidade (9,8 m/s²)
- $ t $ é o tempo de queda (3,03 s)
Passo 9
Calculando:
Passo 10
Portanto, a componente vertical da velocidade no momento do impacto é de aproximadamente 29,7 m/s.
Segunda Parte: Carro Freando e Bate no Muro
a) Qual era o módulo da aceleração constante do carro antes do choque?
Passo 11
Agora vamos para a segunda parte do exercício. Temos um carro que está a 4,0 metros do muro e freia, levando 2,00 segundos para bater. Queremos encontrar a aceleração constante durante esse processo.
Primeiro, vamos transformar a velocidade inicial do carro para metros por segundo, pois está em km/h.
Sabemos que o carro parte da velocidade inicial $ v_i = 22,22 , m/s $ e chega a $ v_f = 0 , m/s $ (parado no momento do choque) em $ t = 2,00 , s $, e percorre $ d = 4,0 , m $.
Vamos usar a equação do movimento:
Onde:
- $ d $ é a distância (4,0 m)
- $ v_i $ é a velocidade inicial (22,22 m/s)
- $ a $ é a aceleração
- $ t $ é o tempo (2,00 s)
Queremos isolar $ a $:
Passo 12
Resolvendo a equação:
Subtraindo 44,44 de ambos os lados:
Passo 13
Portanto, a aceleração constante do carro antes do choque é de aproximadamente -20,22 m/s².
b) Qual era a velocidade do carro no momento do choque?
Passo 14
Na verdade, já sabemos que no momento do choque, a velocidade do carro é 0 m/s, pois ele parou. Mas se interpretarmos como a velocidade final antes de parar, é 0 m/s.
No entanto, se a pergunta for sobre a velocidade imediatamente antes do choque, considerando a desaceleração constante, já vimos que o carro parte de 22,22 m/s e desacelera até 0 m/s em 2,00 s.
Podemos confirmar isso usando a equação da velocidade:
Onde:
- $ v_f $ é a velocidade final (0 m/s)
- $ v_i $ é a velocidade inicial (22,22 m/s)
- $ a $ é a aceleração (-20,22 m/s²)
- $ t $ é o tempo (2,00 s)
Substituindo:
Parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos refazer a parte (a).
Passo 15
Reavaliando a aceleração:
Usando a equação:
Usando esse valor na equação da distância:
Parece que precisamos ajustar nosso método. Vamos usar outra abordagem com as equações de movimento.
Passo 16
Vamos usar a equação:
Sabemos que $ v_f = 0 $ m/s, então:
Isso indica que houve um erro na interpretação inicial. Vamos repensar o problema.
Passo 17
Se o carro percorre 4,0 metros em 2,00 segundos e parte de 80 km/h (22,22 m/s), causou uma desaceleração até a parada, então algo não está certo, pois com os valores fornecidos, a distância percorrida seria muito maior.
Parece que há uma inconsistência nos dados fornecidos. Vamos verificar novamente:
- Velocidade inicial: 80 km/h ≈ 22,22 m/s
- Tempo até o choque: 2,00 s
- Distância: 4,0 m
Com esses valores, a aceleração calculada inicialmente dá uma distância discrepante. Portanto, devemos considerar que o carro estava reduzindo a velocidade de forma constante, indo de 22,22 m/s para 0 m/s em 2,00 s, e a distância real percorrida deveria ser calculada corretamente.
Passo 18
Vamos recalcular a aceleração usando apenas a equação da velocidade:
Agora, usando esse $ a $ para encontrar a distância:
Mas o problema afirma que a distância é 4,0 m, o que não bate. Parece que os dados fornecidos não são consistentes. Talvez a velocidade inicial seja menor ou o tempo seja diferente.
Passo 19
Assumindo que os dados estão corretos e que o carro percorre 4,0 metros em 2,00 segundos enquanto desacelera até parar, precisamos encontrar a aceleração correta.
Usamos a equação da posição:
Sabemos que $ v_f = 0 $, então:
Substituindo na equação da posição:
Então:
Passo 20
Agora, com $ a = -2,0 , m/s^2 $, vamos verificar:
Convertendo para km/h:
Isso não corresponde ao valor inicial de 80 km/h. Então, é evidente que há uma inconsistência nos dados fornecidos.
Passo 21
Portanto, com os dados fornecidos (80 km/h, 4,0 m, 2,00 s), não há uma aceleração constante que satisfaça todas as condições. Talvez haja um erro nos valores do problema.
Resposta
Primeira Parte: Projétil
a) O projétil permanece no ar por aproximadamente 3,03 segundos.
b) O projétil atinge o solo a uma distância horizontal de aproximadamente 757,5 metros do ponto de disparo.
c) A componente vertical da velocidade no momento do impacto é de aproximadamente 29,7 m/s.
Segunda Parte: Carro Freando e Bate no Muro
a) Com os dados fornecidos, há uma inconsistência que impede o cálculo correto da aceleração constante.
b) Não é possível determinar a velocidade do carro no momento do choque com os dados fornecidos, pois eles não são consistentes.