Um projétil é disparado horizontalmente de uma arma que está a 45,0 m acima de um terreno plano, saindo da arma com uma velocidade de 250 m/s.
a) por quanto tempo o projétil permanece no ar?
b) a que distância horizontal do ponto de disparo o projétil se choca com o solo?
c) qual módulo da componente vertical da velocidade quando o projétil se choca ao solo? Um carro que se move a 80 km/h está a 4,0 m de distância de um muro quando o motorista freia. O carro bate no muro 2,00 s depois.
a) qual era o módulo da aceleração constante do carro antes do choque?
b) qual era a velocidade do carro no momento do choque?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes principais: a primeira fala sobre um projétil sendo disparado horizontalmente de uma certa altura, e a segunda trata de um carro que está freando e bate no muro. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos sem considerar as causas desse movimento. Vamos resolver cada pergunta passo a passo, explicando cada conceito que usamos.

Primeira Parte: Projétil

a) Por quanto tempo o projétil permanece no ar?

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o projétil. Ele é disparado horizontalmente, ou seja, sem velocidade inicial na direção vertical. A altura de queda é de 45,0 metros, e queremos saber quanto tempo ele leva para cair essa distância até o solo.
Nesse caso, como a velocidade horizontal não afeta o tempo de queda, podemos focar apenas no movimento vertical, que é uma queda livre sob a aceleração da gravidade.
A fórmula que usamos para calcular o tempo de queda quando a velocidade inicial vertical é zero é:
h = 12 g t^2
Onde:
  • $ h $ é a altura (45,0 m)
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $)
  • $ t $ é o tempo que queremos encontrar
Vamos isolar $ t $:
h

Passo 3

Substituindo os valores:
t = raiz2 times 45,09,8 = raiz909,8 approx raiz9,1837 approx 3,03 , segundos

Passo 4

Então, o projétil permanece no ar por aproximadamente 3,03 segundos.

b) A que distância horizontal do ponto de disparo o projétil se choca com o solo?

Passo 5

Agora que sabemos que o projétil está no ar por cerca de 3,03 segundos, podemos calcular a distância horizontal percorrida. Como a velocidade horizontal é constante (não há aceleração na direção horizontal), usamos a fórmula:
d = v times t
Onde:
  • $ d $ é a distância horizontal
  • $ v $ é a velocidade horizontal (250 m/s)
  • $ t $ é o tempo de voo (3,03 s)

Passo 6

Calculando:
d = 250 times 3,03 approx 757,5 , metros

Passo 7

Então, o projétil atinge o solo a uma distância horizontal de aproximadamente 757,5 metros do ponto de disparo.

c) Qual módulo da componente vertical da velocidade quando o projétil se choca ao solo?

Passo 8

Para encontrar a velocidade vertical no momento do impacto, usamos a fórmula da velocidade em queda livre:
v = g times t
Onde:
  • $ v $ é a velocidade vertical
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (9,8 m/s²)
  • $ t $ é o tempo de queda (3,03 s)

Passo 9

Calculando:
v = 9,8 times 3,03 approx 29,7 , m/s

Passo 10

Portanto, a componente vertical da velocidade no momento do impacto é de aproximadamente 29,7 m/s.

Segunda Parte: Carro Freando e Bate no Muro

a) Qual era o módulo da aceleração constante do carro antes do choque?

Passo 11

Agora vamos para a segunda parte do exercício. Temos um carro que está a 4,0 metros do muro e freia, levando 2,00 segundos para bater. Queremos encontrar a aceleração constante durante esse processo.
Primeiro, vamos transformar a velocidade inicial do carro para metros por segundo, pois está em km/h.
80 , km/h = 80 times 10003600 approx 22,22 , m/s
Sabemos que o carro parte da velocidade inicial $ v_i = 22,22 , m/s $ e chega a $ v_f = 0 , m/s $ (parado no momento do choque) em $ t = 2,00 , s $, e percorre $ d = 4,0 , m $.
Vamos usar a equação do movimento:
vi = 22,22 , m/s
Onde:
  • $ d $ é a distância (4,0 m)
  • $ v_i $ é a velocidade inicial (22,22 m/s)
  • $ a $ é a aceleração
  • $ t $ é o tempo (2,00 s)
Queremos isolar $ a $:
vf = 0 , m/s

Passo 12

Resolvendo a equação:
4,0 = 44,44 + 2,00 a
Subtraindo 44,44 de ambos os lados:
-40,44 = 2,00 a implies a = -40,442,00 = -20,22 , m/s^2

Passo 13

Portanto, a aceleração constante do carro antes do choque é de aproximadamente -20,22 m/s².

b) Qual era a velocidade do carro no momento do choque?

Passo 14

Na verdade, já sabemos que no momento do choque, a velocidade do carro é 0 m/s, pois ele parou. Mas se interpretarmos como a velocidade final antes de parar, é 0 m/s.
No entanto, se a pergunta for sobre a velocidade imediatamente antes do choque, considerando a desaceleração constante, já vimos que o carro parte de 22,22 m/s e desacelera até 0 m/s em 2,00 s.
Podemos confirmar isso usando a equação da velocidade:
vf = vi + a t
Onde:
  • $ v_f $ é a velocidade final (0 m/s)
  • $ v_i $ é a velocidade inicial (22,22 m/s)
  • $ a $ é a aceleração (-20,22 m/s²)
  • $ t $ é o tempo (2,00 s)
Substituindo:
vf á
Parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos refazer a parte (a).

Passo 15

Reavaliando a aceleração:
Usando a equação:
vf = vi + a t implies 0 = 22,22 + a times 2,00 implies a = -22,222,00 = -11,11 , m/s^2
Usando esse valor na equação da distância:
d = vi t + 12 a t^2 implies 4,0 = 22,22 times 2,00 + 12 times (-11,11) times (2,00)^2
4,0 = 44,44 - 22,22 implies 4,0 approx 22,22 , (Não confere) ã
Parece que precisamos ajustar nosso método. Vamos usar outra abordagem com as equações de movimento.

Passo 16

Vamos usar a equação:
d = vi + vf2 times t
Sabemos que $ v_f = 0 $ m/s, então:
vf = 0 ã
Isso indica que houve um erro na interpretação inicial. Vamos repensar o problema.

Passo 17

Se o carro percorre 4,0 metros em 2,00 segundos e parte de 80 km/h (22,22 m/s), causou uma desaceleração até a parada, então algo não está certo, pois com os valores fornecidos, a distância percorrida seria muito maior.
Parece que há uma inconsistência nos dados fornecidos. Vamos verificar novamente:
  • Velocidade inicial: 80 km/h ≈ 22,22 m/s
  • Tempo até o choque: 2,00 s
  • Distância: 4,0 m
Com esses valores, a aceleração calculada inicialmente dá uma distância discrepante. Portanto, devemos considerar que o carro estava reduzindo a velocidade de forma constante, indo de 22,22 m/s para 0 m/s em 2,00 s, e a distância real percorrida deveria ser calculada corretamente.

Passo 18

Vamos recalcular a aceleração usando apenas a equação da velocidade:
vf = vi + a t implies 0 = 22,22 + a times 2,00 implies a = -22,222,00 = -11,11 , m/s^2
Agora, usando esse $ a $ para encontrar a distância:
a
Mas o problema afirma que a distância é 4,0 m, o que não bate. Parece que os dados fornecidos não são consistentes. Talvez a velocidade inicial seja menor ou o tempo seja diferente.

Passo 19

Assumindo que os dados estão corretos e que o carro percorre 4,0 metros em 2,00 segundos enquanto desacelera até parar, precisamos encontrar a aceleração correta.
Usamos a equação da posição:
d = vi t + 12 a t^2
Sabemos que $ v_f = 0 $, então:
vf = 0
Substituindo na equação da posição:
0 = vi + a t implies vi = -a t
Então:
d = (-a t) t + 12 a t^2 = -a t^2 + 12 a t^2 = -12 a t^2

Passo 20

Agora, com $ a = -2,0 , m/s^2 $, vamos verificar:
a = -2,0 , m/s^2
Convertendo para km/h:
vi = -a t = -(-2,0) times 2,00 = 4,0 , m/s
Isso não corresponde ao valor inicial de 80 km/h. Então, é evidente que há uma inconsistência nos dados fornecidos.

Passo 21

Portanto, com os dados fornecidos (80 km/h, 4,0 m, 2,00 s), não há uma aceleração constante que satisfaça todas as condições. Talvez haja um erro nos valores do problema.

Resposta

Primeira Parte: Projétil
a) O projétil permanece no ar por aproximadamente 3,03 segundos.
b) O projétil atinge o solo a uma distância horizontal de aproximadamente 757,5 metros do ponto de disparo.
c) A componente vertical da velocidade no momento do impacto é de aproximadamente 29,7 m/s.
Segunda Parte: Carro Freando e Bate no Muro
a) Com os dados fornecidos, há uma inconsistência que impede o cálculo correto da aceleração constante.
b) Não é possível determinar a velocidade do carro no momento do choque com os dados fornecidos, pois eles não são consistentes.

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