Um projétil é disparado com velocidade v0, de modo a passar entre dois pontos a uma distância h acima da horizontal. Determine a distância entre os pontos considerando que a arma foi ajustada para um alcance máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um projétil lançado com velocidade inicial que passa entre dois pontos separados por uma altura acima do solo. A missão é descobrir a distância entre esses dois pontos, sabendo que a arma foi ajustada para dar o alcance máximo. Para isso, vamos usar conceitos de movimento projetado e cinemática.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que, para obter o alcance máximo de um projétil, o ângulo de lançamento deve ser de 45 graus. Isso porque, nesse ângulo, a combinação das componentes horizontal e vertical da velocidade inicial promove a maior distância possível.

Passo 3

Vamos separar a velocidade inicial nas componentes horizontal e vertical:
v0x = v0 cos(theta)
v0y = v0 sin(theta)
Como v0x = v0 cdot raiz22 , sabemos que v0y = v0 cdot raiz22 . Então:

Passo 4

Agora, vamos analisar o movimento vertical do projétil. A altura máxima atingida pelo projétil ocorre quando a velocidade vertical é zero. A altura máxima H = v0y^22g é dada por:
H = (v0 cdot raiz22)^22g = v0^2 cdot 242g = v0^24g
Onde é a aceleração da gravidade ( ). Substituindo :

Passo 5

Sabemos que essa altura máxima v0^24g = h Rightarrow v0^2 = 4gh é igual a R = v0^2 sin(2theta)g do enunciado. Então:
R = v0^2g
Agora, o alcance máximo R = 4ghg = 4h é dado por:
Como , . Portanto:
Substituindo :

Resposta

A distância entre os pontos é .

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