Considere uma longa casca cilíndrica de raio interno
e raio externo
. O cilindro transporta uma corrente no sentido fora da página, sendo que a magnitude da densidade de corrente na seção transversal é
, com
e
está em metros. Qual é a magnitude do campo magnético no pontos a)
e b)
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma casca cilíndrica longa com raios interno
e externo
. Queremos encontrar a magnitude do campo magnético em dois pontos diferentes usando conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Ampère. Para isso, vamos precisar entender como a densidade de corrente
se distribui na seção transversal do cilindro e aplicar a Lei de Ampère para calcular o campo magnético.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Ela nos diz que a circulação do campo magnético
ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade do vácuo
multiplicada pela corrente total
que passa através desse caminho:
Para simetria cilíndrica, o campo magnético
tem a mesma magnitude em um círculo de raio
e é tangencial a esse círculo. Assim, a integral do lado esquerdo se simplifica para:
Nosso objetivo é encontrar
para dois valores de
: 3 cm e 5 cm.
Passo 3
Vamos calcular a corrente
que está dentro do caminho de Ampère para cada caso. A densidade de corrente é dada por:
onde
e
está em metros. A corrente total através de uma área
é obtida integrando
sobre essa área:
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área
é
. Então:
Passo 4
Vamos calcular
para o caso a)
(ou
).
Primeiro, convertemos os raios para metros:
Agora, integraremos de
até
:
Integrando
:
Então:
Calculando os valores:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei de Ampère para encontrar
:
Isolando
:
Onde
.
Substituindo os valores para
e
:
Passo 6
Agora, vamos calcular para o caso b)
(ou
). Como
está fora do cilindro (
), toda a corrente na casca será considerada.
Primeiro, calculamos a corrente total
na casca, integrando de
até
:
Integrando:
Passo 7
Aplicando novamente a Lei de Ampère para
:
Substituindo os valores:
Resposta
a) A magnitude do campo magnético em
é aproximadamente
.
b) A magnitude do campo magnético em
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
A corrente em um condutor cilíndrico longo com raio
varia com a distância a partir do eixo do cilindro de acordo com a relação
. Encontre o campo magnético em (a)
, (b)
, e ©
.
Um projétil é disparado com velocidade
, de modo a passar entre dois pontos a uma distância
acima da horizontal. Determine a distância entre os pontos considerando que a arma foi ajustada para um alcance máximo.
Para a espira do exercício anterior, em qual ponto ao longo do eixo da espira o campo magnético é (a)
do campo no centro, (b)
do campo no centro, e ©
do campo no centro?
Uma espira circular de uma única volta com raio de 10 cm deve produzir um campo no seu centro que deverá apenas cancelar o campo magnético da Terra no equador, que é de
, direcionado para o norte. Encontre a corrente na espira e faça um esboço que mostre a orientação da espira e da corrente.