Considere uma longa casca cilíndrica de raio interno e raio externo . O cilindro transporta uma corrente no sentido fora da página, sendo que a magnitude da densidade de corrente na seção transversal é , com e está em metros. Qual é a magnitude do campo magnético no pontos a) e b) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma casca cilíndrica longa com raios interno e externo . Queremos encontrar a magnitude do campo magnético em dois pontos diferentes usando conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Ampère. Para isso, vamos precisar entender como a densidade de corrente se distribui na seção transversal do cilindro e aplicar a Lei de Ampère para calcular o campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Ela nos diz que a circulação do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade do vácuo multiplicada pela corrente total que passa através desse caminho:
Para simetria cilíndrica, o campo magnético tem a mesma magnitude em um círculo de raio e é tangencial a esse círculo. Assim, a integral do lado esquerdo se simplifica para:
Nosso objetivo é encontrar para dois valores de : 3 cm e 5 cm.

Passo 3

Vamos calcular a corrente que está dentro do caminho de Ampère para cada caso. A densidade de corrente é dada por:
onde e está em metros. A corrente total através de uma área é obtida integrando sobre essa área:
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área é . Então:

Passo 4

Vamos calcular para o caso a) (ou ).
Primeiro, convertemos os raios para metros:
Agora, integraremos de até :
Integrando :
Então:
Calculando os valores:

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Ampère para encontrar :
Isolando :
Onde .
Substituindo os valores para e :

Passo 6

Agora, vamos calcular para o caso b) (ou ). Como está fora do cilindro ( ), toda a corrente na casca será considerada.
Primeiro, calculamos a corrente total na casca, integrando de até :
Integrando:

Passo 7

Aplicando novamente a Lei de Ampère para :
Substituindo os valores:

Resposta

a) A magnitude do campo magnético em é aproximadamente .
b) A magnitude do campo magnético em é aproximadamente .

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