Considere uma longa casca cilíndrica de raio interno a=2 cm e raio externo b=4 cm. O cilindro transporta uma corrente no sentido fora da página, sendo que a magnitude da densidade de corrente na seção transversal é J=C r^2, com C=3 times 10^6 A / m^4 e r está em metros. Qual é a magnitude do campo magnético no pontos a) r=3 cm e b) r=5 cm ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma casca cilíndrica longa com raios interno e externo . Queremos encontrar a magnitude do campo magnético em dois pontos diferentes usando conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Ampère. Para isso, vamos precisar entender como a densidade de corrente se distribui na seção transversal do cilindro e aplicar a Lei de Ampère para calcular o campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Ela nos diz que a circulação do campo magnético oint B cdot dl = mu0 Ienc ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade do vácuo B cdot 2pi r = mu0 Ienc multiplicada pela corrente total que passa através desse caminho:
Para simetria cilíndrica, o campo magnético tem a mesma magnitude em um círculo de raio e é tangencial a esse círculo. Assim, a integral do lado esquerdo se simplifica para:
Nosso objetivo é encontrar para dois valores de : 3 cm e 5 cm.

Passo 3

Vamos calcular a corrente J(r) = C r^2 que está dentro do caminho de Ampère para cada caso. A densidade de corrente é dada por:
Ienc = integral J(r) cdot dA
onde Ienc = integrala^r C r'^2 cdot 2pi r' , dr' = 2pi C integrala^r r'^3 , dr' e está em metros. A corrente total através de uma área é obtida integrando sobre essa área:
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área é . Então:

Passo 4

Vamos calcular a = 2 , cm = 0,02 , m para o caso a) r = 3 , cm = 0,03 , m (ou Ienc = 2pi times 3 times 10^6 times integral0,02^0,03 r'^3 , dr' ).
Primeiro, convertemos os raios para metros:
integral r'^3 , dr' = r'^44
Ienc = 2pi times 3 times 10^6 times [ (0,03)^44 - (0,02)^44 ]
Agora, integraremos de Ienc = 6pi times 10^6 times ( 8,1 times 10^-74 - 1,6 times 10^-74 ) até Ienc = 6pi times 10^6 times ( 2,025 times 10^-7 - 0,4 times 10^-7 ) :
Ienc = 6pi times 10^6 times 1,625 times 10^-7
Integrando Ienc = 6pi times 1,625 times 10^-1 :
Ienc approx 3,075 pi times 10^-1 , A
Então:
Ienc approx 0,967 , A
Calculando os valores:

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Ampère para encontrar B cdot 2pi r = mu0 Ienc :
B = mu0 Ienc2pi r
Isolando B = 4pi times 10^-7 times 0,9672pi times 0,03 :
B = 4 times 0,967 times 10^-72 times 0,03
Onde B = 3,868 times 10^-70,06 .
Substituindo os valores para B approx 6,447 times 10^-6 , T e B approx 6,45 , muT :

Passo 6

Agora, vamos calcular para o caso b) Itotal = 2pi C integral0,02^0,04 r'^3 , dr' (ou Itotal = 2pi times 3 times 10^6 times [ (0,04)^44 - (0,02)^44 ] ). Como Itotal = 6pi times 10^6 times ( 2,56 times 10^-54 - 1,6 times 10^-74 ) está fora do cilindro ( Itotal = 6pi times 10^6 times ( 6,4 times 10^-6 - 4 times 10^-8 ) ), toda a corrente na casca será considerada.
Primeiro, calculamos a corrente total Itotal = 6pi times 10^6 times 6,36 times 10^-6 na casca, integrando de Itotal = 6pi times 6,36 times 10^0 até Itotal approx 38,16 pi , A :
Itotal approx 119,75 , A
Integrando:

Passo 7

Aplicando novamente a Lei de Ampère para B = mu0 Itotal2pi r :
B = 4pi times 10^-7 times 119,752pi times 0,05
Substituindo os valores:
B = 4 times 119,75 times 10^-72 times 0,05
B = 479 times 10^-70,1
B approx 4,79 times 10^-4 , T
B approx 479 , muT

Resposta

a) A magnitude do campo magnético em é aproximadamente .
b) A magnitude do campo magnético em é aproximadamente .

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