A corrente em um condutor cilíndrico longo com raio R=10 cm varia com a distância a partir do eixo do cilindro de acordo com a relação I(r)=(50 A / m) r. Encontre o campo magnético em (a) r=5 cm, (b) r=10 cm, e © r=20 cm.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata do campo magnético gerado por uma corrente que varia dentro de um condutor cilíndrico. A gente precisa usar a Lei de Ampère para achar o campo magnético nos pontos indicados. Para isso, vamos lembrar das fórmulas de campos magnéticos em situações de simetria cilíndrica e calcular a corrente que está dentro de cada raio específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação da corrente com a distância. A corrente por unidade de comprimento a uma distância I(r) = (50 , Am) times r do eixo é dada por:
Isso significa que a corrente aumenta linearmente conforme nos afastamos do centro do cilindro.

Passo 3

Para encontrar o campo magnético oint B cdot dl = mu0 Ienc em um ponto a uma distância B times 2pi r = mu0 Ienc do eixo, vamos usar a Lei de Ampère, que é:
B = mu0 Ienc2pi r
Como o problema tem simetria cilíndrica, o campo será tangente ao caminho de integração e terá o mesmo valor em toda a circunferência. Então, a equação fica:
Dessa forma, podemos isolar :
Aqui, é a corrente total dentro do raio .

Passo 4

Vamos calcular Ienc = integral0^r I(r') , dr' = integral0^0,05 , m 50 , Am times r' , dr' para cada caso:
a) Para Ienc = 50 times (0,05)^22 = 50 times 0,00252 = 50 times 0,00125 = 0,0625 , A (dentro do condutor):
Como Ienc = integral0^0,10 , m 50 , Am times r' , dr' = 50 times (0,10)^22 = 50 times 0,012 = 50 times 0,005 = 0,25 , A , a corrente está distribuída uniformemente até esse ponto. A corrente total dentro de é:
Integrando:
b) Para (na superfície do condutor):
Aqui, , então toda a corrente do condutor está dentro desse raio. A corrente total é:
c) Para (fora do condutor):
Nesse caso, , então toda a corrente do condutor está dentro do raio. Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo magnético B = mu0 Ienc2pi r para cada caso usando a fórmula que derivamos:
B = 4pi times 10^-7 times 0,06252pi times 0,05 = 4 times 10^-7 times 0,06252 times 0,05 = 2,5 times 10^-80,1 = 2,5 times 10^-7 , T
Onde B = 4pi times 10^-7 times 0,252pi times 0,10 = 4 times 10^-7 times 0,252 times 0,10 = 1 times 10^-70,2 = 5 times 10^-7 , T .
a) Para B = 4pi times 10^-7 times 0,252pi times 0,20 = 4 times 10^-7 times 0,252 times 0,20 = 1 times 10^-70,4 = 2,5 times 10^-7 , T :
b) Para :
c) Para :

Resposta

a) Para , o campo magnético é .
b) Para , o campo magnético é .
c) Para , o campo magnético é .

Exercícios relacionados