A corrente em um condutor cilíndrico longo com raio varia com a distância a partir do eixo do cilindro de acordo com a relação . Encontre o campo magnético em (a) , (b) , e © .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata do campo magnético gerado por uma corrente que varia dentro de um condutor cilíndrico. A gente precisa usar a Lei de Ampère para achar o campo magnético nos pontos indicados. Para isso, vamos lembrar das fórmulas de campos magnéticos em situações de simetria cilíndrica e calcular a corrente que está dentro de cada raio específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação da corrente com a distância. A corrente por unidade de comprimento a uma distância do eixo é dada por:
Isso significa que a corrente aumenta linearmente conforme nos afastamos do centro do cilindro.

Passo 3

Para encontrar o campo magnético em um ponto a uma distância do eixo, vamos usar a Lei de Ampère, que é:
Como o problema tem simetria cilíndrica, o campo será tangente ao caminho de integração e terá o mesmo valor em toda a circunferência. Então, a equação fica:
Dessa forma, podemos isolar :
Aqui, é a corrente total dentro do raio .

Passo 4

Vamos calcular para cada caso:
a) Para (dentro do condutor):
Como , a corrente está distribuída uniformemente até esse ponto. A corrente total dentro de é:
Integrando:
b) Para (na superfície do condutor):
Aqui, , então toda a corrente do condutor está dentro desse raio. A corrente total é:
c) Para (fora do condutor):
Nesse caso, , então toda a corrente do condutor está dentro do raio. Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo magnético para cada caso usando a fórmula que derivamos:
Onde .
a) Para :
b) Para :
c) Para :

Resposta

a) Para , o campo magnético é .
b) Para , o campo magnético é .
c) Para , o campo magnético é .

Exercícios relacionados

Um projétil é disparado com velocidade , de modo a passar entre dois pontos a uma distância acima da horizontal. Determine a distância entre os pontos considerando que a arma foi ajustada para um alcance máximo.
Os blocos deslizantes e estão conectados por uma rígida barra leve, de comprimento , e se deslocam com atrito desprezível nas ranhuras horizontais mostradas. Para a posição em que , a velocidade de é para a direita. Determine a aceleração de cada bloco deslizante e a força na barra nesse instante.
Considere uma longa casca cilíndrica de raio interno e raio externo . O cilindro transporta uma corrente no sentido fora da página, sendo que a magnitude da densidade de corrente na seção transversal é , com e está em metros. Qual é a magnitude do campo magnético no pontos a) e b) ?
Para a espira do exercício anterior, em qual ponto ao longo do eixo da espira o campo magnético é (a) do campo no centro, (b) do campo no centro, e © do campo no centro?