A corrente em um condutor cilíndrico longo com raio
varia com a distância a partir do eixo do cilindro de acordo com a relação
. Encontre o campo magnético em (a)
, (b)
, e ©
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata do campo magnético gerado por uma corrente que varia dentro de um condutor cilíndrico. A gente precisa usar a Lei de Ampère para achar o campo magnético nos pontos indicados. Para isso, vamos lembrar das fórmulas de campos magnéticos em situações de simetria cilíndrica e calcular a corrente que está dentro de cada raio específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação da corrente com a distância. A corrente por unidade de comprimento a uma distância
do eixo é dada por:
Isso significa que a corrente aumenta linearmente conforme nos afastamos do centro do cilindro.
Passo 3
Para encontrar o campo magnético
em um ponto a uma distância
do eixo, vamos usar a Lei de Ampère, que é:
Como o problema tem simetria cilíndrica, o campo
será tangente ao caminho de integração e terá o mesmo valor em toda a circunferência. Então, a equação fica:
Dessa forma, podemos isolar
:
Aqui,
é a corrente total dentro do raio
.
Passo 4
Vamos calcular
para cada caso:
a) Para
(dentro do condutor):
Como
, a corrente está distribuída uniformemente até esse ponto. A corrente total dentro de
é:
Integrando:
b) Para
(na superfície do condutor):
Aqui,
, então toda a corrente do condutor está dentro desse raio. A corrente total é:
c) Para
(fora do condutor):
Nesse caso,
, então toda a corrente do condutor está dentro do raio. Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o campo magnético
para cada caso usando a fórmula que derivamos:
Onde
.
a) Para
:
b) Para
:
c) Para
:
Resposta
a) Para
, o campo magnético é
.
b) Para
, o campo magnético é
.
c) Para
, o campo magnético é
.