Um projétil é disparado verticalmente para cima, a partir da superfície da Terra, com uma velocidade inicial de 5 km / s. Desprezando a resistência do ar, que distância acima da superfície da Terra o projétil alcança?

Passo 1

Então, a gente tem um projétil que é lançado verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial de . O objetivo aqui é descobrir até que altura ele vai subir antes de parar, desconsiderando a resistência do ar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e leis da gravitação.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade inicial para metros por segundo para facilitar os cálculos:
5, km/s = 5000, m/s

Passo 3

A ideia é usar a conservação da energia mecânica. A energia total no início (energia cinética) será igual à energia potencial no ponto mais alto, onde a velocidade é zero.
Ecinética inicial = Epotencial final é

Passo 4

A energia cinética inicial é dada por:
Ecinética = 12 m v^2 é
E a energia potencial gravitacional é:
Epotencial = -G M mr
Onde:
  • é a constante gravitacional.
  • é a massa da Terra.
  • é a distância do centro da Terra até o ponto mais alto.
  • é a massa do projétil, mas ela vai se cancelar nas equações.

Passo 5

Igualando as energias:
12 m v^2 = G M mr
Podemos simplificar eliminando 12 v^2 = G Mr :

Passo 6

Resolver para r = 2 G Mv^2 :

Passo 7

Agora, substituindo os valores:
r = 2 times 6,674 times 10^-11, Ncdotm^2/kg^2 times 5,972 times 10^24, kg(5000, m/s)^2

Passo 8

Calculando o denominador:
(5000, m/s)^2 = 25,000,000, m^2/s^2
E o numerador:
2 times 6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^24 approx 7,983 times 10^14, Ncdotm^2/kg

Passo 9

Então,
r = 7,983 times 10^1425,000,000 = 3,1932 times 10^7, m

Passo 10

Esse valor de h = r - R = 3,1932 times 10^7, m - 6,371 times 10^6, m approx 2,5561 times 10^7, m é a distância do centro da Terra. Para achar a altura acima da superfície, subtraímos o raio da Terra ( ):

Resposta

A distância máxima que o projétil alcança acima da superfície da Terra é aproximadamente , ou seja, cerca de 25,6 milhões de metros.

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