Um satélite em órbita equatorial circular permanece acima do mesmo ponto do equador da Terra ao longo de toda a órbita. a) Qual o período de revolução do satélite? b) Qual a altitude da órbita (que recebe o nome de órbita geoestacionária) do satélite?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um satélite que está em uma órbita equatorial circular, ou seja, ele passa sempre sobre o mesmo ponto do Equador da Terra. Queremos descobrir duas coisas:
a) Qual é o período de revolução desse satélite (quanto tempo ele leva para dar uma volta completa)?
b) Qual é a altitude dessa órbita, conhecida como órbita geoestacionária.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados às órbitas circulares e à gravitação universal de Newton.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) da questão: encontrar o período de revolução do satélite.
A força que mantém o satélite na órbita é a força gravitacional entre a Terra e o satélite. Essa força fornece a força centrípeta necessária para o satélite continuar se movendo em círculo.
A fórmula da força gravitacional é:
Fg = G M mr^2
onde:
  • Fc = m v^2r é a constante gravitacional ( G M mr^2 = m v^2r ),
  • G Mr = v^2 é a massa da Terra ( ),
  • é a massa do satélite,
  • é a distância do centro da Terra até o satélite.
A força centrípeta necessária para manter o satélite na órbita é dada por:
onde é a velocidade do satélite.
Como essas duas forças são iguais para uma órbita estável, temos:
Podemos simplificar essa equação cancelando e um :

Passo 3

Sabendo que a velocidade v = 2 pi rT também está relacionada ao período G Mr = ( 2 pi rT )^2 da órbita pela circunferência da órbita:
G Mr = 4 pi^2 r^2T^2
Substituindo essa expressão na equação anterior:
T^2 = 4 pi^2 r^3G M
Simplificando:
Rearranjando para encontrar :

Passo 4

Para encontrar o período , precisamos conhecer a distância . No entanto, como queremos o período específico para uma órbita geoestacionária (parte a) e a altitude para essa órbita é a parte b), vamos usar o fato de que para uma órbita geoestacionária, o período é igual ao período de rotação da Terra, que é aproximadamente 24 horas.

Resposta

a) O período de revolução do satélite é de aproximadamente 24 horas.
b) A altitude da órbita geoestacionária é cerca de 35.786 quilômetros acima da superfície da Terra.

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