Verifique que
sāo soluçōes das equaçōes de onda para o campo elétrico e magnético.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente verifique se as expressões para os campos elétrico e magnético são soluções das equações de onda. Isso está dentro do estudo do eletromagnetismo, especificamente nas ondas eletromagnéticas. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações de onda para campos elétricos e magnéticos e verificar se as funções dadas satisfazem essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda para um campo elétrico em uma dimensão (supondo que a onda se propaga ao longo do eixo ):
Aqui, é a velocidade da onda. No caso das ondas eletromagnéticas no vácuo, , a velocidade da luz.

Passo 3

Vamos pegar a expressão dada para :
Vamos calcular as segundas derivadas de em relação a e .
Primeiro, a derivada segunda em relação a :
Agora, a derivada segunda em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação de onda:
Podemos simplificar eliminando dos dois lados:
Isso implica que:

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para o campo magnético . A expressão dada é:
Calculando as segundas derivadas:
Primeira, em relação a :
Agora, em relação a :

Passo 6

Substituindo na equação de onda para :
Simplificando, temos:
Que novamente leva a:

Passo 7

Chegamos à mesma relação para e , o que confirma que ambas as expressões satisfazem a equação de onda, desde que . Portanto, as funções dadas para e são realmente soluções das equações de onda para os campos elétrico e magnético.

Resposta

As expressões para e são soluções válidas das equações de onda para os campos elétrico e magnético, desde que a relação seja satisfeita.

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