Um projétil é lançado por um canhão e atinge o solo a uma distância de 150 metros do ponto de partida. Ele percorre uma trajetória parabólica, e a altura máxima que atinge em relação ao solo é de 25 metros. Admita um sistema de coordenadas xy em que no eixo vertical y está representada a altura e no eixo horizontal x está representada a distância, ambas em metro. Considere que o canhão está no ponto (150; 0) e que o projétil atinge o solo no ponto (0; 0) do plano xy. A equação da parábola que representa a trajetória descrita pelo projétil é
a) y = 150x - x²
b) y = 3 750x - 25x²
c) 75y = 300x - 2x²
d) 125y = 450x - 3x²
e) 225y = 150x - x²
a) y = 150x - x²
b) y = 3 750x - 25x²
c) 75y = 300x - 2x²
d) 125y = 450x - 3x²
e) 225y = 150x - x²
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da parábola que representa a trajetória de um projétil lançado de um canhão. O enunciado nos fala que o projétil começa no ponto (150, 0), atinge o ponto mais alto em 25 metros e finalmente cai no ponto (0, 0). Vamos usar conhecimentos de funções quadráticas para isso, já que a trajetória é uma parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação geral de uma parábola pode ser escrita como:
Mas, como sabemos que o projétil parte de (150, 0) e termina em (0, 0), podemos usar esses pontos para simplificar a equação.
Passo 3
Sabemos que quando $ x = 0 $, $ y = 0 $. Então, substituindo na equação:
Isso nos mostra que $ c = 0 $. Assim, a equação fica:
Passo 4
Agora, usamos o ponto de lançamento (150, 0):
Simplificando:
Podemos dividir tudo por 150:
Ou seja:
Passo 5
Sabemos também que a altura máxima é 25 metros. A altura máxima ocorre no vértice da parábola. A coordenada $ x $ do vértice é dada por:
Como a altura máxima está no meio da distância (150 metros), temos $ x_v = 75 $. Substituindo:
Mas já sabemos que $ b = -150a $, então:
Isso confirma nossa relação, mas precisamos de mais uma informação para encontrar $ a $.
Passo 6
Usamos a altura máxima $ y = 25 $ no vértice (75, 25):
Substituindo $ b = -150a $:
Passo 7
Agora que temos $ a $, encontramos $ b $:
Passo 8
Então, a equação da parábola fica:
Podemos multiplicar tudo por 225 para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Resposta
A equação da trajetória é:
Portanto, a alternativa correta é a letra e).