Um projétil é lançado por um canhão e atinge o solo a uma distância de 150 metros do ponto de partida. Ele percorre uma trajetória parabólica, e a altura máxima que atinge em relação ao solo é de 25 metros. Admita um sistema de coordenadas xy em que no eixo vertical y está representada a altura e no eixo horizontal x está representada a distância, ambas em metro. Considere que o canhão está no ponto (150; 0) e que o projétil atinge o solo no ponto (0; 0) do plano xy. A equação da parábola que representa a trajetória descrita pelo projétil é
a) y = 150x - x²
b) y = 3 750x - 25x²
c) 75y = 300x - 2x²
d) 125y = 450x - 3x²
e) 225y = 150x - x²

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da parábola que representa a trajetória de um projétil lançado de um canhão. O enunciado nos fala que o projétil começa no ponto (150, 0), atinge o ponto mais alto em 25 metros e finalmente cai no ponto (0, 0). Vamos usar conhecimentos de funções quadráticas para isso, já que a trajetória é uma parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação geral de uma parábola pode ser escrita como:
y = ax^2 + bx + c
Mas, como sabemos que o projétil parte de (150, 0) e termina em (0, 0), podemos usar esses pontos para simplificar a equação.

Passo 3

Sabemos que quando $ x = 0 $, $ y = 0 $. Então, substituindo na equação:
x = 0
Isso nos mostra que $ c = 0 $. Assim, a equação fica:
y = 0

Passo 4

Agora, usamos o ponto de lançamento (150, 0):
0 = a(150)^2 + b(150)
Simplificando:
0 = 22500a + 150b
Podemos dividir tudo por 150:
0 = 150a + b
Ou seja:
b = -150a

Passo 5

Sabemos também que a altura máxima é 25 metros. A altura máxima ocorre no vértice da parábola. A coordenada $ x $ do vértice é dada por:
x
Como a altura máxima está no meio da distância (150 metros), temos $ x_v = 75 $. Substituindo:
xv = -b2a
Mas já sabemos que $ b = -150a $, então:
xv = 75
75 = -b2a
b = -150a
Isso confirma nossa relação, mas precisamos de mais uma informação para encontrar $ a $.

Passo 6

Usamos a altura máxima $ y = 25 $ no vértice (75, 25):
y = 25
Substituindo $ b = -150a $:
25 = a(75)^2 + b(75)
b = -150a
25 = 5625a - 150a times 75
25 = 5625a - 11250a
25 = -5625a

Passo 7

Agora que temos $ a $, encontramos $ b $:
a
b
b = -150a
b = -150 times (-1225)

Passo 8

Então, a equação da parábola fica:
y = -1225x^2 + 23x
Podemos multiplicar tudo por 225 para eliminar o denominador:
225y = -x^2 + 150x
Rearranjando:
225y = 150x - x^2

Resposta

A equação da trajetória é:
225y = 150x - x^2
Portanto, a alternativa correta é a letra e).

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