Um cilindro sólido muito longo de raio R possui distribuição uniforme de carga positiva, sendo rho a carga por unidade de volume. (d) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r, de r=0 até r=3 R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer um gráfico do módulo do campo elétrico ( E) em função da distância r, de r=0 até r=3R, para um cilindro sólido muito longo com raio R e carga distribuída uniformemente com densidade rho. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que ajuda a encontrar campos elétricos de maneira mais fácil quando temos simetria, como nesse caso do cilindro.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o campo elétrico dentro e fora do cilindro vai se comportar de formas diferentes. Vamos dividir a análise em duas partes: quando r < R (dentro do cilindro) e quando r > R (fora do cilindro).

Passo 3

Para r < R (dentro do cilindro):
Aqui, usamos a Lei de Gauss considerando um cilindro gaussiano de raio r. A carga interna ao cilindro gaussiano é proporcional ao volume, então a carga q dentro dele é:
q = rho cdot pi r^2 L
Onde L é o comprimento do cilindro.
Aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = qvarepsilon0
Como o campo elétrico é radial e uniforme, fica:
E cdot 2pi r L = rho pi r^2 Lvarepsilon0
Cancelando termos e isolando E:
E = rho r2 varepsilon0
Para r > R (fora do cilindro):
Agora, o cilindro gaussiano engloba todo o cilindro carregado. A carga total é:
q = rho cdot pi R^2 L
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = rho pi R^2 Lvarepsilon0
Isolando E:
E = rho R^22 varepsilon0 r

Passo 4

Agora, vamos resumir as expressões do campo elétrico:
  • Dentro do cilindro ( 0 <= r <= R):
    E(r) = rho r2 varepsilon0
    Aqui, o campo aumenta linearmente com r.
  • Fora do cilindro ( r > R):
    E(r) = rho R^22 varepsilon0 r
    Nesse caso, o campo diminui inversamente com r.

Passo 5

Para fazer o gráfico de E em função de r de 0 a 3R, observe o seguinte:
  • De 0 a R, o campo cresce de forma linear, começando do zero e aumentando até E(R) = rho R2 varepsilon0.
  • A partir de R até 3R, o campo começa a decrescer inversamente proporcional a r, ou seja, à medida que r aumenta, E diminui.
Então, o gráfico terá uma linha reta ascendendo até r=R e, após isso, uma curva decrescente.

Resposta

O gráfico do módulo do campo elétrico E versus distância r mostra uma linha reta crescente de E = rho r2 varepsilon0 para 0 <= r <= R e, para r > R, uma curva que decresce proporcionalmente a 1r, conforme E = rho R^22 varepsilon0 r. Assim, de r=0 a r=3R, o campo aumenta linearmente até R e depois diminui inversamente com r.

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