Um cilindro sólido muito longo de raio
possui distribuição uniforme de carga positiva, sendo
a carga por unidade de volume. (d) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância
, de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer um gráfico do módulo do campo elétrico (
) em função da distância
, de
até
, para um cilindro sólido muito longo com raio
e carga distribuída uniformemente com densidade
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que ajuda a encontrar campos elétricos de maneira mais fácil quando temos simetria, como nesse caso do cilindro.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o campo elétrico dentro e fora do cilindro vai se comportar de formas diferentes. Vamos dividir a análise em duas partes: quando
(dentro do cilindro) e quando
(fora do cilindro).
Passo 3
Para
(dentro do cilindro):
Aqui, usamos a Lei de Gauss considerando um cilindro gaussiano de raio
. A carga interna ao cilindro gaussiano é proporcional ao volume, então a carga
dentro dele é:
Onde
é o comprimento do cilindro.
Aplicando a Lei de Gauss:
Como o campo elétrico é radial e uniforme, fica:
Cancelando termos e isolando
:
Para
(fora do cilindro):
Agora, o cilindro gaussiano engloba todo o cilindro carregado. A carga total é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando
:
Passo 4
Agora, vamos resumir as expressões do campo elétrico:
-
Dentro do cilindro (
): Aqui, o campo aumenta linearmente com. -
Fora do cilindro (
): Nesse caso, o campo diminui inversamente com.
Passo 5
Para fazer o gráfico de
em função de
de
a
, observe o seguinte:
- De
a , o campo cresce de forma linear, começando do zero e aumentando até . - A partir de
até , o campo começa a decrescer inversamente proporcional a , ou seja, à medida que aumenta, diminui.
Então, o gráfico terá uma linha reta ascendendo até
e, após isso, uma curva decrescente.
Resposta
O gráfico do módulo do campo elétrico
versus distância
mostra uma linha reta crescente de
para
e, para
, uma curva que decresce proporcionalmente a
, conforme
. Assim, de
a
, o campo aumenta linearmente até
e depois diminui inversamente com
.