Um projétil é lançado próximo à superfície da terra de modo que seu movimento ocorre no plano x z, com o eixo z na direção vertical. Suponha uma força de atrito proporcional à velocidade, fx=-b vx e fz=-b vz. Obtenha vx(t), x(t), vz(t) e z(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um projétil lançado próximo à superfície da Terra, considerando forças de atrito proporcionais à velocidade. Vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, especialmente as leis de Newton e equações diferenciais para resolver. Precisaremos entender como as forças afetam a velocidade e a posição do projétil ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no projétil. Temos duas componentes de força de atrito:
  • Na direção horizontal ( x): fx = -b vx
  • Na direção vertical ( z): fz = -b vz
Além disso, na direção vertical, temos a força da gravidade atuando para baixo: Fg = -mg, onde m é a massa do projétil e g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton em cada direção. A segunda lei diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
F = m cdot a
Para a direção x:
m cdot dvxdt = -b vx
Para a direção z:
m cdot dvzdt = -b vz - m g

Passo 4

Agora, vamos resolver as equações diferenciais para vx(t) e vz(t).
Equação para vx(t):
dvxdt = -bm vx
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é:
vx(t) = vx0 e^-bm t
onde vx0 é a velocidade inicial na direção x.

Passo 5

Equação para vz(t):
dvzdt = -bm vz - g
Essa também é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o fator integrante:
mu(t) = e^integral bm dt = e^bm t
Multiplicando ambos os lados da equação por mu(t):
e^bm t dvzdt + bm e^bm t vz = -g e^bm t
O lado esquerdo agora é a derivada de vz e^bm t:
ddt ( vz e^bm t ) = -g e^bm t
Integrando ambos os lados:
vz e^bm t = -g mb e^bm t + C
Onde C é a constante de integração. Dividindo por e^bm t:
vz(t) = -g mb + C e^-bm t
Aplicando a condição inicial vz(0) = vz0:
vz0 = -g mb + C
Então, C = vz0 + g mb, e a solução é:
vz(t) = ( vz0 + g mb ) e^-bm t - g mb

Passo 6

Agora que temos as expressões para as velocidades, vamos encontrar as posições x(t) e z(t) integrando as velocidades em relação ao tempo.
Para x(t):
x(t) = integral vx(t) dt = integral vx0 e^-bm t dt = -m vx0b e^-bm t + Cx
Aplicando a condição inicial x(0) = 0:
0 = -m vx0b + Cx Rightarrow Cx = m vx0b
Portanto:
x(t) = m vx0b ( 1 - e^-bm t )
Para z(t):
z(t) = integral vz(t) dt = integral ( ( vz0 + g mb ) e^-bm t - g mb ) dt
Integrando termo a termo:
z(t) = ( vz0 + g mb ) ( -mb e^-bm t ) - g mb t + Cz
Aplicando a condição inicial z(0) = 0:
0 = -mb ( vz0 + g mb ) + Cz Rightarrow Cz = mb ( vz0 + g mb )
Portanto:
z(t) = mb ( vz0 + g mb ) ( 1 - e^-bm t ) - g mb t

Resposta

As soluções para as velocidades e posições do projétil são:
vx(t) = vx0 e^-bm t
x(t) = m vx0b ( 1 - e^-bm t )
vz(t) = ( vz0 + g mb ) e^-bm t - g mb
z(t) = mb ( vz0 + g mb ) ( 1 - e^-bm t ) - g mb t

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