Um projétil é lançado próximo à superfície da terra de modo que seu movimento ocorre no plano
, com o eixo
na direção vertical. Suponha uma força de atrito proporcional à velocidade,
e
. Obtenha
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um projétil lançado próximo à superfície da Terra, considerando forças de atrito proporcionais à velocidade. Vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, especialmente as leis de Newton e equações diferenciais para resolver. Precisaremos entender como as forças afetam a velocidade e a posição do projétil ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no projétil. Temos duas componentes de força de atrito:
- Na direção horizontal (
): - Na direção vertical (
):
Além disso, na direção vertical, temos a força da gravidade atuando para baixo:
, onde
é a massa do projétil e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton em cada direção. A segunda lei diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Para a direção
:
Para a direção
:
Passo 4
Agora, vamos resolver as equações diferenciais para
e
.
Equação para
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é:
onde
é a velocidade inicial na direção
.
Passo 5
Equação para
:
Essa também é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o fator integrante:
Multiplicando ambos os lados da equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Dividindo por
:
Aplicando a condição inicial
:
Então,
, e a solução é:
Passo 6
Agora que temos as expressões para as velocidades, vamos encontrar as posições
e
integrando as velocidades em relação ao tempo.
Para
:
Aplicando a condição inicial
:
Portanto:
Para
:
Integrando termo a termo:
Aplicando a condição inicial
:
Portanto:
Resposta
As soluções para as velocidades e posições do projétil são: