Um satélite de massa
está em órbita em torno da Terra. O raio da Terra é
e a massa da Terra é
. Considere que
. O satélite encontra-se em uma órbita elíptica. Ele passa a 200 km da superfície da Terra no seu ponto de maior aproximação e passa a 7200 km da superfície da Terra no seu ponto mais afastado. Com base nessas informações, responda as questões a seguir.
e) Calcule o módulo da velocidade do satélite i) ao passar pelo perigeu (ponto mais próximo da Terra); e ii) ao passar pelo apogeu (ponto mais distante da Terra).
e) Calcule o módulo da velocidade do satélite i) ao passar pelo perigeu (ponto mais próximo da Terra); e ii) ao passar pelo apogeu (ponto mais distante da Terra).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de um satélite em órbita elíptica em torno da Terra. A gente vai usar conceitos de Óptica de Órbitas e Leis de Kepler, que nos ajudam a entender como os satélites se movem ao redor dos planetas. Para calcular a velocidade do satélite nos pontos de maior aproximação (perigeu) e maior afastamento (apogeu), vamos precisar usar a Lei de Conservação de Energia e a Lei da Conservação do Momento Angular. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados fornecidos:
- Massa do satélite,
- Raio da Terra,
- Aceleração da gravidade na superfície da Terra,
- Distância no perigeu (mais próximo da Terra): 200 km acima da superfície
- Distância no apogeu (mais distante da Terra): 7200 km acima da superfície
Primeiro, vamos converter as distâncias do perigeu e apogeu para metros e somar ao raio da Terra para obter as distâncias totais do satélite ao centro da Terra nesses pontos.
Passo 3
Calculando as distâncias totais:
-
Perigeu (
): -
Apogeu (
):
Passo 4
Agora, vamos usar a Lei da Conservação do Momento Angular, que diz que o momento angular do satélite permanece constante ao longo da órbita. Matematicamente, isso é expresso como:
onde:
-
e são as distâncias no perigeu e apogeu, respectivamente -
e são as velocidades no perigeu e apogeu, respectivamente
Passo 5
Também vamos utilizar a Equação Vis-Viva, que relaciona a velocidade de um satélite em uma órbita elíptica com a distância ao centro do planeta e o semi-eixo maior da órbita. A equação é:
onde:
-
é a constante gravitacional -
é a massa da Terra -
é a distância do satélite ao centro da Terra -
é o semi-eixo maior da órbita
Mas, como temos
, podemos reescrever
em termos de
e
:
Passo 6
Vamos calcular o semi-eixo maior (
) da órbita elíptica. Em uma órbita elíptica, o semi-eixo maior é a média das duas distâncias extremas:
Passo 7
Agora, aplicando a Equação Vis-Viva para o perigeu:
Substituindo os valores:
Passo 8
Fazendo as contas:
Passo 9
Agora, aplicando a Equação Vis-Viva para o apogeu:
Substituindo os valores:
Passo 10
Fazendo as contas:
Resposta
A velocidade do satélite é aproximadamente:
- No perigeu:
- No apogeu: ( v_a \approx 4377 , m/s \ )