Um satélite de massa m=10^3 kg está em órbita em torno da Terra. O raio da Terra é R=6,37 times 10^6 m e a massa da Terra é M. Considere que g=G M / R^2=9,81 m / s^2. O satélite encontra-se em uma órbita elíptica. Ele passa a 200 km da superfície da Terra no seu ponto de maior aproximação e passa a 7200 km da superfície da Terra no seu ponto mais afastado. Com base nessas informações, responda as questões a seguir.
e) Calcule o módulo da velocidade do satélite i) ao passar pelo perigeu (ponto mais próximo da Terra); e ii) ao passar pelo apogeu (ponto mais distante da Terra).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de um satélite em órbita elíptica em torno da Terra. A gente vai usar conceitos de Óptica de Órbitas e Leis de Kepler, que nos ajudam a entender como os satélites se movem ao redor dos planetas. Para calcular a velocidade do satélite nos pontos de maior aproximação (perigeu) e maior afastamento (apogeu), vamos precisar usar a Lei de Conservação de Energia e a Lei da Conservação do Momento Angular. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados fornecidos:
  • Massa do satélite,
  • Raio da Terra,
  • Aceleração da gravidade na superfície da Terra,
  • Distância no perigeu (mais próximo da Terra): 200 km acima da superfície
  • Distância no apogeu (mais distante da Terra): 7200 km acima da superfície
Primeiro, vamos converter as distâncias do perigeu e apogeu para metros e somar ao raio da Terra para obter as distâncias totais do satélite ao centro da Terra nesses pontos.

Passo 3

Calculando as distâncias totais:
  • Perigeu ( rp = R + 200, km = 6,37 times 10^6, m + 2,0 times 10^5, m = 6,57 times 10^6, m ):
    ra = R + 7200, km = 6,37 times 10^6, m + 7,2 times 10^6, m = 13,57 times 10^6, m
  • Apogeu ( ):

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei da Conservação do Momento Angular, que diz que o momento angular do satélite permanece constante ao longo da órbita. Matematicamente, isso é expresso como:
rp vp = ra va
onde:
  • e são as distâncias no perigeu e apogeu, respectivamente
  • e são as velocidades no perigeu e apogeu, respectivamente

Passo 5

Também vamos utilizar a Equação Vis-Viva, que relaciona a velocidade de um satélite em uma órbita elíptica com a distância ao centro do planeta e o semi-eixo maior da órbita. A equação é:
v^2 = G M ( 2r - 1a )
onde:
  • G M = g R^2 é a constante gravitacional
  • é a massa da Terra
  • é a distância do satélite ao centro da Terra
  • é o semi-eixo maior da órbita
Mas, como temos , podemos reescrever em termos de e :

Passo 6

Vamos calcular o semi-eixo maior ( a = rp + ra2 = 6,57 times 10^6, m + 13,57 times 10^6, m2 = 10,07 times 10^6, m ) da órbita elíptica. Em uma órbita elíptica, o semi-eixo maior é a média das duas distâncias extremas:

Passo 7

Agora, aplicando a Equação Vis-Viva para o perigeu:
vp^2 = g R^2 ( 2rp - 1a )
Substituindo os valores:
vp^2 = 9,81 times (6,37 times 10^6)^2 ( 26,57 times 10^6 - 110,07 times 10^6 )

Passo 8

Fazendo as contas:
vp^2 = 9,81 times 4,0597 times 10^13 ( 3,046 times 10^-7 - 9,930 times 10^-8 )
vp^2 = 3,982 times 10^14 times 2,053 times 10^-7 = 8,17 times 10^7
vp = raiz8,17 times 10^7 approx 9036 , m/s

Passo 9

Agora, aplicando a Equação Vis-Viva para o apogeu:
va^2 = g R^2 ( 2ra - 1a )
Substituindo os valores:
va^2 = 9,81 times (6,37 times 10^6)^2 ( 213,57 times 10^6 - 110,07 times 10^6 )

Passo 10

Fazendo as contas:
va^2 = 9,81 times 4,0597 times 10^13 ( 1,474 times 10^-7 - 9,930 times 10^-8 )
va^2 = 3,982 times 10^14 times 4,81 times 10^-8 = 1,916 times 10^7
va = raiz1,916 times 10^7 approx 4377 , m/s

Resposta

A velocidade do satélite é aproximadamente:
  • No perigeu:
  • No apogeu: ( v_a \approx 4377 , m/s \ )

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