Partindo da equação da trajetória (eq. 3), mostre que o projétil alcançará sua altura máxima em
Dica: Faça
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o projétil atinge sua altura máxima na posição horizontal
, dada pela fórmula:
Vamos usar conceitos de cinemática de projéteis e derivadas para achar onde a inclinação da trajetória é zero, ou seja, onde a altura é máxima. Precisamos calcular a derivada de
em relação a
e encontrar onde ela é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada
nos mostra a inclinação da trajetória nesse ponto. Conforme a dica, para encontrar a altura máxima, essa inclinação deve ser zero:
Isso significa que, no ponto
, a trajetória está com inclinação horizontal, ou seja, a altura não está mais aumentando nem diminuindo.
Passo 3
Para calcular
, usamos a regra da cadeia:
Aqui,
é a velocidade vertical e
é a velocidade horizontal do projétil.
Passo 4
No ponto
, sabemos que
. Então:
Isso significa que, na altura máxima, a velocidade vertical do projétil é zero.
Passo 5
Sabemos que a velocidade vertical
varia com o tempo devido à aceleração causada pela gravidade e o arrasto. A equação para
é:
Onde:
-
é a velocidade vertical inicial -
é a aceleração da gravidade -
representa o coeficiente de arrasto
Passo 6
No ponto de altura máxima,
. Vamos igualar a equação acima a zero e resolver para o tempo
:
Passo 7
Agora, queremos encontrar a posição horizontal
nesse tempo. Sabemos que a velocidade horizontal
é constante (sem arrasto horizontal para simplificar):
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Resposta
Portanto, a posição horizontal onde o projétil atinge a altura máxima é: