Partindo da equação da trajetória (eq. 3), mostre que o projétil alcançará sua altura máxima em
xm=vx 0 vz 0g+bm vz 0
Dica: Faça (d zd x)xm=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o projétil atinge sua altura máxima na posição horizontal xm=vx 0 vz 0g+bm vz 0 , dada pela fórmula:
Vamos usar conceitos de cinemática de projéteis e derivadas para achar onde a inclinação da trajetória é zero, ou seja, onde a altura é máxima. Precisamos calcular a derivada de em relação a e encontrar onde ela é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada (d zd x)xm=0 nos mostra a inclinação da trajetória nesse ponto. Conforme a dica, para encontrar a altura máxima, essa inclinação deve ser zero:
Isso significa que, no ponto , a trajetória está com inclinação horizontal, ou seja, a altura não está mais aumentando nem diminuindo.

Passo 3

Para calcular d zd x = d zd td xd t = vzvx , usamos a regra da cadeia:
Aqui, é a velocidade vertical e é a velocidade horizontal do projétil.

Passo 4

No ponto vzvx = 0 implies vz = 0 , sabemos que . Então:
Isso significa que, na altura máxima, a velocidade vertical do projétil é zero.

Passo 5

Sabemos que a velocidade vertical vz(t) = vz0 - (g + bm) t varia com o tempo devido à aceleração causada pela gravidade e o arrasto. A equação para é:
Onde:
  • é a velocidade vertical inicial
  • é a aceleração da gravidade
  • representa o coeficiente de arrasto

Passo 6

No ponto de altura máxima, 0 = vz0 - (g + bm) t implies t = vz0g + bm . Vamos igualar a equação acima a zero e resolver para o tempo :

Passo 7

Agora, queremos encontrar a posição horizontal xm = vx0 cdot t nesse tempo. Sabemos que a velocidade horizontal xm = vx0 cdot vz0g + bm é constante (sem arrasto horizontal para simplificar):
Substituindo pela expressão que encontramos:

Resposta

Portanto, a posição horizontal onde o projétil atinge a altura máxima é:
xm=vx0 , vz0g + bm , vz0

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