Um projétil é lançado segundo um ângulo de 30° com a horizontal e com uma velocidade de 20 m/s. Desprezando a resistência do ar, calcule o menor tempo gasto por ele para atingir a altura de 480 m acima do ponto de lançamento e o alcance do projétil. Para isso, suponha que a aceleração da gravidade local seja g = 10 m/s² e adote que sen 30° = 0,5 e cos 30° = 0,8.
Passo 1
Então, a gente tem um projétil que foi lançado com uma velocidade inicial de 20 m/s num ângulo de 30° em relação à horizontal. A pergunta é para descobrir o menor tempo que ele leva para atingir uma altura de 480 metros e qual é o alcance desse projétil. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de movimento de projétil, considerando que a aceleração da gravidade $ g = 10 , m/s² $, e já temos os valores de $ \sin 30° = 0,5 $ e $ \cos 30° = 0,8 $.
Passo 2
Vamos começar analisando o movimento vertical do projétil. A posição vertical $ y(t) $ em função do tempo é dada por:
Onde $ v_{y0} $ é a velocidade inicial na vertical. Calculando:
Então, substituindo na fórmula:
Rearranjando a equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o tempo $ t $. Calculamos o discriminante $ \Delta $:
Como o discriminante é negativo ($ \Delta < 0 $), isso significa que não há solução real para $ t $. Ou seja, o projétil não consegue atingir a altura de 480 metros com a velocidade e o ângulo dados.
Passo 4
Mesmo assim, vamos calcular o alcance do projétil. Primeiro, determinamos o tempo total de voo. Sabemos que o tempo para subir e descer é:
Agora, calculamos a velocidade horizontal $ v_{x0} $:
Finalmente, o alcance $ R $ é:
Resposta
O projétil não consegue atingir a altura de 480 metros e tem um alcance de 32 metros.