A soma dos valores de duas cargas pontuais q1 e q2 é q1 + q2 = 10 µC. Quando estão afastadas 3 m entre si, o módulo da força exercida por cada uma delas sobre a outra é 24 mN. Determine os valores de q1 e q2, se:
(a) Ambas cargas são positivas.
(b) Uma das cargas é positiva e a outra negativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física sobre cargas elétricas. Temos duas cargas pontuais, q₁ e q₂, que somadas dão 10 μC. Quando estão separadas por 3 metros, a força que uma exerce sobre a outra tem módulo de 24 mN. A gente precisa descobrir o valor de q₁ e q₂ em dois casos:
(a) Ambas as cargas são positivas.
(b) Uma carga é positiva e a outra é negativa.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que relaciona a força entre cargas elétricas com o produto das cargas e a distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que diz que a força elétrica (F) entre duas cargas é dada por:
F = k cdot |q1 cdot q2|r^2
Onde:
- $ k $ é a constante de Coulomb ($ 8,988 \times 10^9 , N·m²/C² $)
- $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas
- $ r $ é a distância entre elas

Passo 3

Sabemos que $ q_1 + q_2 = 10 , \muC $. Vamos usar isso para expressar uma carga em função da outra. Por exemplo:
q1 + q2 = 10 , muC

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula da força:
24 times 10^-3 , N = 8,988 times 10^9 cdot |q1 cdot (10 times 10^-6 - q1)|3^2

Passo 5

Simplificando a equação:
24 times 10^-3 = 8,988 times 10^9 cdot |q1 cdot (10 times 10^-6 - q1)|9
24 times 10^-3 = 8,988 times 10^99 cdot |q1 cdot (10 times 10^-6 - q1)|
24 times 10^-3 = 9,986 times 10^8 cdot |q1 cdot (10 times 10^-6 - q1)|

Passo 6

Isolando $ |q_1 \cdot (10 \times 10^{-6} - q_1)| $:
|q1 cdot (10 times 10^-6 - q1)|
|q1 cdot (10 times 10^-6 - q1)| = 24 times 10^-39,986 times 10^8

Passo 7

Agora, temos que resolver a equação quadrática:
q1^2 - 10 times 10^-6 q1 + 2,404 times 10^-14 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
q1 = 10 times 10^-6 pm raiz(10 times 10^-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 2,404 times 10^-142
q1 = 10 times 10^-6 pm raiz100 times 10^-12 - 9,616 times 10^-142
q1 = 10 times 10^-6 pm raiz90,384 times 10^-122
q1 = 10 times 10^-6 pm 9,512 times 10^-62

Passo 8

Calculando as duas soluções:
  1. $ q_1 = \frac{10 \times 10^{-6} + 9,512 \times 10^{-6}}{2} = \frac{19,512 \times 10^{-6}}{2} = 9,756 \times 10^{-6} , C $
  2. $ q_1 = \frac{10 \times 10^{-6} - 9,512 \times 10^{-6}}{2} = \frac{0,488 \times 10^{-6}}{2} = 0,244 \times 10^{-6} , C $

Passo 9

Agora, encontramos dois pares de soluções:
  • $ q_1 = 9,756 , \muC $ e $ q_2 = 0,244 , \muC $
  • $ q_1 = 0,244 , \muC $ e $ q_2 = 9,756 , \muC $

Resposta

(a) Se ambas as cargas são positivas, então:
  • $ q_1 = 9,756 , \muC $
  • $ q_2 = 0,244 , \muC $
(b) Se uma carga é positiva e a outra é negativa, mantendo a soma $ q_1 + q_2 = 10 , \muC $, os valores continuam sendo:
  • $ q_1 = 9,756 , \muC $ (positiva) e $ q_2 = -0,756 , \muC $
  • Ou $ q_1 = 0,244 , \muC $ (positiva) e $ q_2 = -9,756 , \muC $

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