Um projetista de páginas da internet cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição r=[(5,0-2,0 t^2) i+5,0 t j] cm, onde o tempo té dado em segundos. Determine: O vetor velocidade média, seu módulo e seu ângulo, no intervalo de 0 s a 2,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de cinemática vetorial, especificamente sobre velocidade média. O enunciado nos dá a posição de um ponto na tela em função do tempo e pede para determinar o vetor velocidade média, seu módulo e o ângulo que ele forma no intervalo de 0 a 2,0 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de velocidade média e entender como trabalhar com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função da posição que foi dada:
r(t) = [ (5,0 - 2,0 t^2) i + 5,0 t j ] , cm
Aqui, representa a posição do ponto no tempo , com componentes nas direções (horizontal) e (vertical).

Passo 3

A velocidade média vm = r(t2) - r(t1)t2 - t1 é calculada pela variação da posição dividida pelo intervalo de tempo. A fórmula é:
Vamos aplicar isso para s e s.

Passo 4

Primeiro, calculamos r(0) = [ 5,0 - 2,0 times 0^2 ] i + 5,0 times 0 j = 5,0 i + 0 j , cm :
r(2,0) = [ 5,0 - 2,0 times (2,0)^2 ] i + 5,0 times 2,0 j = (5,0 - 8,0) i + 10,0 j = -3,0 i + 10,0 j , cm
Depois, calculamos :

Passo 5

Agora, a variação da posição De é:
De
E o intervalo de tempo é:

Passo 6

Aplicando a fórmula da velocidade média:
vm = -8,0 i + 10,0 j2,0 = -4,0 i + 5,0 j , cm/s

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo da velocidade média. A fórmula para o módulo de um vetor |v| = raiza^2 + b^2 é:
|vm| = raiz(-4,0)^2 + (5,0)^2 = raiz16 + 25 = raiz41 approx 6,4 , cm/s
Aplicando para :

Passo 8

Por fim, vamos encontrar o ângulo tan(theta) = ba = 5,0-4,0 = -1,25 que a velocidade m��dia faz com o eixo theta = tan^-1(-1,25) approx -51,34^circ . Usamos a tangente do ângulo:
theta = 180^circ - 51,34^circ = 128,66^circ
Para encontrar , usamos a função arco-tangente:
Como o vetor está no segundo quadrante (com e ), o ângulo positivo correspondente é:

Resposta

O vetor velocidade média é , seu módulo é aproximadamente e o ângulo que forma com o eixo é de aproximadamente .

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