Um projetista de páginas da internet cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição
, onde o tempo té dado em segundos. Determine: O vetor velocidade instantânea em
, seu módulo e seu ângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma animação onde a posição de um ponto na tela é dada por
em centímetros, e o tempo
está em segundos. A gente vai descobrir a velocidade instantânea nesse ponto quando
segundos, além de calcular o módulo (ou seja, a rapidez) dessa velocidade e o ângulo que ela forma.
Vamos precisar usar cálculo, especificamente a derivada da posição em relação ao tempo para encontrar a velocidade. Também vamos usar trigonometria para achar o ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a velocidade instantânea. Ela é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se
é a posição, então:
Vamos derivar cada componente da posição.
Passo 3
A posição é dada por:
Vamos derivar em relação a
:
Então, a velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a velocidade no instante
segundos substituindo
na expressão da velocidade:
Passo 5
Para achar o módulo (ou rapidez) da velocidade, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos calcular o ângulo que a velocidade forma com o eixo
(horizontal). Usamos a função tangente:
Calculando:
Como o vetor está no segundo quadrante (porque
é negativo e
é positivo), o ângulo real é:
Resposta
A velocidade instantânea no instante
segundos é
cm/s. O módulo dessa velocidade é aproximadamente
cm/s e o ângulo que ela forma com o eixo horizontal é de
.