Um projetista de páginas da internet cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição r=[(5,0-2,0 t^2) i+5,0 t j] cm, onde o tempo té dado em segundos. Determine: O vetor velocidade instantânea em t=2,0 s, seu módulo e seu ângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma animação onde a posição de um ponto na tela é dada por em centímetros, e o tempo está em segundos. A gente vai descobrir a velocidade instantânea nesse ponto quando segundos, além de calcular o módulo (ou seja, a rapidez) dessa velocidade e o ângulo que ela forma.
Vamos precisar usar cálculo, especificamente a derivada da posição em relação ao tempo para encontrar a velocidade. Também vamos usar trigonometria para achar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a velocidade instantânea. Ela é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se v(t) = dr(t)dt é a posição, então:
Vamos derivar cada componente da posição.

Passo 3

A posição é dada por:
r(t) = (5,0 - 2,0 t^2) i + 5,0 t j
Vamos derivar em relação a ddt(5,0 - 2,0 t^2) = -4,0 t (derivada da componente i) :
ddt(5,0 t) = 5,0 (derivada da componente j)
v(t) = (-4,0 t) i + 5,0 j
Então, a velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade no instante v(2,0) = (-4,0 times 2,0) i + 5,0 j = (-8,0) i + 5,0 j cm/s segundos substituindo na expressão da velocidade:

Passo 5

Para achar o módulo (ou rapidez) da velocidade, usamos a fórmula:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Substituindo os valores:
|v| = raiz(-8,0)^2 + (5,0)^2 = raiz64 + 25 = raiz89 approx 9,43 cm/s

Passo 6

Agora, vamos calcular o ângulo que a velocidade forma com o eixo tan(theta) = vyvx = 5,0-8,0 (horizontal). Usamos a função tangente:
theta = arctan(5,0-8,0)
theta approx arctan(-0,625) approx -32,0^circ
Calculando:
theta = 180^circ - 32,0^circ = 148,0^circ
Como o vetor está no segundo quadrante (porque é negativo e é positivo), o ângulo real é:

Resposta

A velocidade instantânea no instante segundos é cm/s. O módulo dessa velocidade é aproximadamente cm/s e o ângulo que ela forma com o eixo horizontal é de .

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