A velocidade de uma partícula que se move sobre um plano é dada por , com em metros por segundo e ) em segundos. Calcule o vetor velocidade média no intervalo de 0 à , seu módulo e seu ângulo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos a velocidade de uma partícula em um plano , dada pela função vetorial:
em metros por segundo, onde é o tempo em segundos. A questão nos pede para calcular o vetor velocidade média no intervalo de 0 a 3,0 segundos, além de seu módulo e o ângulo que ele forma. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade média vetorial, calcular o módulo de um vetor e determinar o ângulo de um vetor no plano.

Passo 2

A velocidade média de um vetor no intervalo de tempo pode ser calculada integrando a função velocidade ao longo desse intervalo e dividindo pelo comprimento do intervalo. Matematicamente, isso é:
é
onde . No nosso caso, e s. Vamos calcular cada componente do vetor separadamente.

Passo 3

Vamos integrar a componente da velocidade:
Integrando de 0 a 3,0 s:
Calculando em :
E em :
Portanto, a integral da componente é -9.

Passo 4

Agora, vamos integrar a componente da velocidade:
Como é uma constante, a integral de 0 a 3,0 s é:

Passo 5

Agora que temos as integrais das componentes, vamos calcular a velocidade média para cada uma:
é

Passo 6

Para encontrar o módulo do vetor velocidade média, usamos a fórmula do comprimento de um vetor:
é

Passo 7

Para encontrar o ângulo que o vetor velocidade média forma com o eixo , usamos a função tangente:
Como é negativo e é positivo, o vetor está no segundo quadrante. Calculando:
Como está no segundo quadrante, adicionamos 180°:

Resposta

A velocidade média é é m/s, com módulo aproximadamente e formando um ângulo de em relação ao eixo .

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