A velocidade v de uma partícula que se move sobre um plano x y é dada por v=(6, 0 t-4, 0 t^2) i+8, 0 j, com v em metros por segundo e t(>0 ) em segundos. Calcule o vetor velocidade média no intervalo de 0 à 3,0 s, seu módulo e seu ângulo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos a velocidade de uma partícula em um plano v = (6.0, t - 4.0, t^2), i + 8.0, j , dada pela função vetorial:
em metros por segundo, onde é o tempo em segundos. A questão nos pede para calcular o vetor velocidade média no intervalo de 0 a 3,0 segundos, além de seu módulo e o ângulo que ele forma. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade média vetorial, calcular o módulo de um vetor e determinar o ângulo de um vetor no plano.

Passo 2

A velocidade média de um vetor no intervalo de tempo pode ser calculada integrando a função velocidade ao longo desse intervalo e dividindo pelo comprimento do intervalo. Matematicamente, isso é:
vmédia = 1Deé
onde . No nosso caso, e s. Vamos calcular cada componente do vetor separadamente.

Passo 3

Vamos integrar a componente vx(t) = 6.0, t - 4.0, t^2 da velocidade:
integral0^3 (6.0, t - 4.0, t^2), dt = [3.0, t^2 - 4.03, t^3]0^3
Integrando de 0 a 3,0 s:
3.0 times (3)^2 - 4.03 times (3)^3 = 3.0 times 9 - 4.03 times 27 = 27 - 36 = -9
Calculando em 0 :
E em :
Portanto, a integral da componente é -9.

Passo 4

Agora, vamos integrar a componente vy(t) = 8.0 da velocidade:
integral0^3 8.0, dt = 8.0 times 3 = 24
Como é uma constante, a integral de 0 a 3,0 s é:

Passo 5

Agora que temos as integrais das componentes, vamos calcular a velocidade média para cada uma:
vmédia = ( -93 ), i + ( 243 ), j = -3, i + 8, j é

Passo 6

Para encontrar o módulo do vetor velocidade média, usamos a fórmula do comprimento de um vetor:
|vmédia| = raizvx^2 + vy^2 = raiz(-3)^2 + 8^2 = raiz9 + 64 = raiz73 approx 8,54, m/s é

Passo 7

Para encontrar o ângulo que o vetor velocidade média forma com o eixo theta = arctan( vyvx ) = arctan( 8-3 ) , usamos a função tangente:
theta approx arctan(-2,6667) approx -69,44^circ
Como theta approx 180^circ - 69,44^circ = 110,56^circ é negativo e é positivo, o vetor está no segundo quadrante. Calculando:
Como está no segundo quadrante, adicionamos 180°:

Resposta

A velocidade média é é m/s, com módulo aproximadamente e formando um ângulo de em relação ao eixo .

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