A velocidade
de uma partícula que se move sobre um plano
é dada por
, com
em metros por segundo e
) em segundos. Calcule o vetor velocidade média no intervalo de 0 à
, seu módulo e seu ângulo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos a velocidade de uma partícula em um plano
, dada pela função vetorial:
em metros por segundo, onde
é o tempo em segundos. A questão nos pede para calcular o vetor velocidade média no intervalo de 0 a 3,0 segundos, além de seu módulo e o ângulo que ele forma. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade média vetorial, calcular o módulo de um vetor e determinar o ângulo de um vetor no plano.
Passo 2
A velocidade média de um vetor no intervalo de tempo pode ser calculada integrando a função velocidade ao longo desse intervalo e dividindo pelo comprimento do intervalo. Matematicamente, isso é:
onde
. No nosso caso,
e
s. Vamos calcular cada componente do vetor separadamente.
Passo 3
Vamos integrar a componente
da velocidade:
Integrando de 0 a 3,0 s:
Calculando em
:
E em
:
Portanto, a integral da componente
é -9.
Passo 4
Agora, vamos integrar a componente
da velocidade:
Como é uma constante, a integral de 0 a 3,0 s é:
Passo 5
Agora que temos as integrais das componentes, vamos calcular a velocidade média para cada uma:
Passo 6
Para encontrar o módulo do vetor velocidade média, usamos a fórmula do comprimento de um vetor:
Passo 7
Para encontrar o ângulo que o vetor velocidade média forma com o eixo
, usamos a função tangente:
Como
é negativo e
é positivo, o vetor está no segundo quadrante. Calculando:
Como está no segundo quadrante, adicionamos 180°:
Resposta
A velocidade média é
m/s, com módulo aproximadamente
e formando um ângulo de
em relação ao eixo
.