Em um projeto de construção de estradas, há duas áreas de encosta, A e B, com diferentes tipos de solo. A área A tem uma probabilidade de erosão de , enquanto a área B tem uma probabilidade de erosão de . Sabe-se que das encostas pertencem à área A e à área B. Durante uma inspeção, é detectada erosão em uma encosta. Qual a probabilidade de que a encosta seja da área B?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um projeto de construção de estradas com duas áreas de encosta, A e B, que têm tipos de solo diferentes. A probabilidade de erosão na área A é de 5% e na área B é de 15%. Sabemos também que 60% das encostas são da área A e 40% da área B. A pergunta é: se a gente detectou erosão em uma encosta durante a inspeção, qual a chance dessa encosta ser da área B? Para resolver isso, vamos usar um pouco de probabilidade, especificamente o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os eventos que estamos lidando:
  • Seja o evento de ocorrer erosão em uma encosta.
  • Seja o evento de a encosta ser da área A.
  • Seja o evento de a encosta ser da área B.
Queremos encontrar , ou seja, a probabilidade de a encosta ser da área B dado que ocorreu erosão.

Passo 3

Para usar o Teorema de Bayes, precisamos das seguintes informações:
  1. (probabilidade de uma encosta ser da área A).
  2. (probabilidade de uma encosta ser da área B).
  3. (probabilidade de erosão dado que é da área A).
  4. (probabilidade de erosão dado que é da área B).

Passo 4

O Teorema de Bayes nos diz que:
Mas precisamos calcular , que é a probabilidade total de erosão em qualquer encosta. Podemos usar a Regra da Probabilidade Total:

Passo 5

Vamos calcular :
Então, .

Passo 6

Agora, usando o Teorema de Bayes:

Resposta

A probabilidade de que a encosta seja da área B, dado que foi detectada erosão, é de aproximadamente 66,67%.

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A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é e de seu marido . Calcular a probabilidade de:
a) apenas o homem estar vivo;
b) somente a mulher estar viva;
c) pelo menos um estar vivo;
d) ambos estarem vivos
Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 50 indivíduos dadas em cm:
60 85 33 52 65 77 84 65 74 57
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89
a) Fazer o rol e agrupar os dados em classes de frequência.
b) Construir o histograma e o polígono de frequência da distribuição.
c) Determinar a moda e o coeficiente de variação.
d) Calcular o coeficiente de curtose e dizer que tipo de curva corresponde a amostra.
Dada a amostra:
28 33 27 30 31 30 33 30 33 29
27 33 31 27 31 28 27 29 31 24
31 33 30 32 30 33 27 33 31 33
:— :— :— :— :— :— :— :— :— :—
23 29 30 24 28 34 30 30 18 17
18 15 16 17 17 18 19 19 20 29
a) Fazer o rol.
b) Construir a tabela de distribuição de frequência agrupando em classes.
c) Construir o histograma e o polígono de frequência.
d) Determinar a média.
e) Determinar a mediana.
f) Determinar a moda.
g) Determinar o desvio médio e o desvio padrão.
h) Determinar o coeficiente de variação.
i) Determinar o coeficiente de assimetria e curtose indicando qual distribuição e a correspondente curva.
A J. D. Powers and Associates fez uma pesquisa de usuários de telefones celulares a fim de saber quantos minutos eles usavam telefones celulares por mês (Associated Press, junho de 2002). Os minutos por mês relativos a uma amostra de 15 usuários de telefones celulares são mostradas a seguir:
615 135 395
430 830 1180
690 250 420
265 245 210
180 380 105
a) Qual é a média e mediana de minutos de uso por mês?
b) Qual é o ?
c) A J. D. Powers and Associates divulgou que a média dos planos de assinatura de telefones sem fio permite até 750 minutos de uso por mês. O que esses dados sugerem a respeito da utilização que os assinantes de telefones celulares fazem de seus planos de assinatura mensal?