Em um projeto de construção de estradas, há duas áreas de encosta, A e B, com diferentes tipos de solo. A área A tem uma probabilidade de erosão de
, enquanto a área B tem uma probabilidade de erosão de
. Sabe-se que
das encostas pertencem à área A e
à área B. Durante uma inspeção, é detectada erosão em uma encosta. Qual a probabilidade de que a encosta seja da área B?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um projeto de construção de estradas com duas áreas de encosta, A e B, que têm tipos de solo diferentes. A probabilidade de erosão na área A é de 5% e na área B é de 15%. Sabemos também que 60% das encostas são da área A e 40% da área B. A pergunta é: se a gente detectou erosão em uma encosta durante a inspeção, qual a chance dessa encosta ser da área B? Para resolver isso, vamos usar um pouco de probabilidade, especificamente o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os eventos que estamos lidando:
- Seja
o evento de ocorrer erosão em uma encosta. - Seja
o evento de a encosta ser da área A. - Seja
o evento de a encosta ser da área B.
Queremos encontrar
, ou seja, a probabilidade de a encosta ser da área B dado que ocorreu erosão.
Passo 3
Para usar o Teorema de Bayes, precisamos das seguintes informações:
-
(probabilidade de uma encosta ser da área A). -
(probabilidade de uma encosta ser da área B). -
(probabilidade de erosão dado que é da área A). -
(probabilidade de erosão dado que é da área B).
Passo 4
O Teorema de Bayes nos diz que:
Mas precisamos calcular
, que é a probabilidade total de erosão em qualquer encosta. Podemos usar a Regra da Probabilidade Total:
Passo 5
Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 6
Agora, usando o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que a encosta seja da área B, dado que foi detectada erosão, é de aproximadamente 66,67%.