Em um projeto de construção de estradas, há duas áreas de encosta, A e B, com diferentes tipos de solo. A área A tem uma probabilidade de erosão de 5 %, enquanto a área B tem uma probabilidade de erosão de 15 %. Sabe-se que 60 % das encostas pertencem à área A e 40 % à área B. Durante uma inspeção, é detectada erosão em uma encosta. Qual a probabilidade de que a encosta seja da área B?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um projeto de construção de estradas com duas áreas de encosta, A e B, que têm tipos de solo diferentes. A probabilidade de erosão na área A é de 5% e na área B é de 15%. Sabemos também que 60% das encostas são da área A e 40% da área B. A pergunta é: se a gente detectou erosão em uma encosta durante a inspeção, qual a chance dessa encosta ser da área B? Para resolver isso, vamos usar um pouco de probabilidade, especificamente o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os eventos que estamos lidando:
  • Seja o evento de ocorrer erosão em uma encosta.
  • Seja o evento de a encosta ser da área A.
  • Seja o evento de a encosta ser da área B.
Queremos encontrar , ou seja, a probabilidade de a encosta ser da área B dado que ocorreu erosão.

Passo 3

Para usar o Teorema de Bayes, precisamos das seguintes informações:
  1. (probabilidade de uma encosta ser da área A).
  2. (probabilidade de uma encosta ser da área B).
  3. (probabilidade de erosão dado que é da área A).
  4. (probabilidade de erosão dado que é da área B).

Passo 4

O Teorema de Bayes nos diz que:
P(B|E) = P(E|B) cdot P(B)P(E)
Mas precisamos calcular P(E) = P(E|A) cdot P(A) + P(E|B) cdot P(B) , que é a probabilidade total de erosão em qualquer encosta. Podemos usar a Regra da Probabilidade Total:

Passo 5

Vamos calcular P(E) = (0,05 times 0,6) + (0,15 times 0,4) = 0,03 + 0,06 = 0,09 :
Então, .

Passo 6

Agora, usando o Teorema de Bayes:
P(B|E) = 0,15 times 0,40,09 = 0,060,09 = 23 approx 66,67%

Resposta

A probabilidade de que a encosta seja da área B, dado que foi detectada erosão, é de aproximadamente 66,67%.

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