No projeto de um dispositivo de controle, o pino comprimido por mola P no braço com ranhura segue o contorno do came fixo de quatro lóbulos enquanto o braço gira ao redor de
. A trajetória do centro do pino é regida por
, onde r está em milímetros e
radianos. Se o braço gira a uma taxa constante de
, ache a aceleração do pino quando
. Expresse seus resultados em notação vetorial usando os vetores unitários
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um dispositivo onde um pino está preso a um braço que gira em volta de um ponto O. A trajetória do pino é definida pela equação $ r = 80 + 12 \cos(4\theta) $, onde $ r $ está em milímetros e $ \theta $ em radianos. O braço gira a uma velocidade angular constante de $ \omega = 3\pi , rad/s $. A pergunta é: qual é a aceleração do pino quando $ \theta = \frac{\pi}{4} $? E precisamos expressar isso usando os vetores unitários $ \mathbf{e}r $ e $ \mathbf{e}\theta $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento em coordenadas polares, especialmente as fórmulas para a velocidade e aceleração em coordenadas polares. Não se preocupe, vou te explicar cada parte passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a aceleração em coordenadas polares. A aceleração $ \mathbf{a} $ em coordenadas polares é dada por:
Onde:
- $ r $ é a posição radial,
- $ \theta $ é o ângulo,
- $ r’ $ e $ r’’ $ são as primeiras e segundas derivadas de $ r $ em relação ao tempo,
- $ \theta’ $ e $ \theta’’ $ são as primeiras e segundas derivadas de $ \theta $ em relação ao tempo.
No nosso caso, sabemos que o braço gira a uma taxa angular constante $ \omega = 3\pi , rad/s $, então $ \theta’ = \omega $ e $ \theta’’ = 0 $ (porque a taxa é constante, a segunda derivada é zero).
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ r $ em relação a $ \theta $, já que $ r = 80 + 12 \cos(4\theta) $.
Primeira derivada de $ r $ em relação a $ \theta $:
Segunda derivada de $ r $ em relação a $ \theta $:
Essas derivadas vão nos ajudar a encontrar $ r’ $ e $ r’’ $ em termos do tempo.
Passo 4
Vamos agora relacionar as derivadas em relação a $ \theta $ com as derivadas em relação ao tempo $ t $.
Usando a regra da cadeia:
Lembrando que $ \theta’’ = 0 $ porque $ \omega $ é constante.
Passo 5
Agora, vamos substituir $ r $, $ r’ $, $ r’’ $, $ \theta’ $ e $ \theta’’ $ na fórmula da aceleração:
Como $ \theta’’ = 0 $:
Substituindo os valores que já calculamos:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ \omega = 3\pi , rad/s $ e $ \theta = \frac{\pi}{4} $ na equação acima.
Primeiro, vamos calcular cada componente separadamente.
Para a componente $ \mathbf{e}_r $:
Simplificando o ângulo:
Então:
Sabendo que $ r = 80 + 12 \cos(4\theta) $:
Portanto:
Para a componente $ \mathbf{e}_\theta $:
Sabendo que $ \sin(\pi) = 0 $:
Resposta
A aceleração do pino quando $ \theta = \frac{\pi}{4} $ é: