Em um pronto-socorro o número de atendimentos de emergência segue uma distribuição de Poisson com média de 60 atendimentos por hora.
Calcular:
a) A probabilidade do pronto-socorro não efetuar nenhum atendimento num intervalo de 5 minutos.
b) A probabilidade do pronto-socorro efetuar pelo menos 2 atendimentos num intervalo de 10 minutos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre distribuição de Poisson, que é usada para modelar eventos que acontecem aleatoriamente em um certo intervalo de tempo. No caso, estamos falando de atendimentos de emergência em um pronto-socorro, com uma média de 60 atendimentos por hora. Precisamos calcular duas probabilidades:
a) A probabilidade de não ter nenhum atendimento em 5 minutos.
b) A probabilidade de ter pelo menos 2 atendimentos em 10 minutos.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo, dado que esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos.
é a taxa média de eventos no intervalo.
é a constante de Euler (aproximadamente 2,71828).
é o fatorial de .
Vamos aplicar isso aos nossos problemas.
Passo 3
Parte a) Probabilidade de não ter nenhum atendimento em 5 minutos.
Primeiro, precisamos ajustar a taxa média para o intervalo de 5 minutos.
Sabemos que a média é de 60 atendimentos por 60 minutos (1 hora), então por 5 minutos:
Agora, queremos a probabilidade de atendimentos:
Passo 4
Vamos calcular o valor numérico de :
Então, a probabilidade de não ter nenhum atendimento em 5 minutos é de aproximadamente 0,67%.
Passo 5
Parte b) Probabilidade de ter pelo menos 2 atendimentos em 10 minutos.
Primeiro, ajustamos a taxa média para 10 minutos:
Queremos a probabilidade de pelo menos 2 atendimentos, ou seja, . Isso é igual a 1 menos a probabilidade de ter 0 ou 1 atendimento:
Vamos calcular e :
Passo 6
Agora, somamos e :
Portanto,
Passo 7
Calculando o valor numérico:
Então,
Convertendo para porcentagem:
Resposta
a) A probabilidade de não haver nenhum atendimento em 5 minutos é aproximadamente 0,67%.
b) A probabilidade de haver pelo menos 2 atendimentos em 10 minutos é aproximadamente 99,95%.