Em um pronto-socorro o número de atendimentos de emergência segue uma distribuição de Poisson com média de 60 atendimentos por hora.
Calcular:
a) A probabilidade do pronto-socorro não efetuar nenhum atendimento num intervalo de 5 minutos.
b) A probabilidade do pronto-socorro efetuar pelo menos 2 atendimentos num intervalo de 10 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre distribuição de Poisson, que é usada para modelar eventos que acontecem aleatoriamente em um certo intervalo de tempo. No caso, estamos falando de atendimentos de emergência em um pronto-socorro, com uma média de 60 atendimentos por hora. Precisamos calcular duas probabilidades:
a) A probabilidade de não ter nenhum atendimento em 5 minutos.
b) A probabilidade de ter pelo menos 2 atendimentos em 10 minutos.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo, dado que esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k) = lambda^k cdot e^-lambdak!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos.
  • é a taxa média de eventos no intervalo.
  • é a constante de Euler (aproximadamente 2,71828).
  • é o fatorial de .
Vamos aplicar isso aos nossos problemas.

Passo 3

Parte a) Probabilidade de não ter nenhum atendimento em 5 minutos.

Primeiro, precisamos ajustar a taxa média lambda = 60 times ( 560 ) = 5 para o intervalo de 5 minutos.
Sabemos que a média é de 60 atendimentos por 60 minutos (1 hora), então por 5 minutos:
P(0) = 5^0 cdot e^-50! = 1 cdot e^-51 = e^-5
Agora, queremos a probabilidade de atendimentos:

Passo 4

Vamos calcular o valor numérico de e^-5 approx 0,0067 :
Então, a probabilidade de não ter nenhum atendimento em 5 minutos é de aproximadamente 0,67%.

Passo 5

Parte b) Probabilidade de ter pelo menos 2 atendimentos em 10 minutos.

Primeiro, ajustamos a taxa média lambda = 60 times ( 1060 ) = 10 para 10 minutos:
P(k >= 2) = 1 - P(0) - P(1)
Queremos a probabilidade de pelo menos 2 atendimentos, ou seja, P(0) = 10^0 cdot e^-100! = e^-10 . Isso é igual a 1 menos a probabilidade de ter 0 ou 1 atendimento:
P(1) = 10^1 cdot e^-101! = 10 cdot e^-10
Vamos calcular e :

Passo 6

Agora, somamos P(0) + P(1) = e^-10 + 10 cdot e^-10 = 11 cdot e^-10 e P(k >= 2) = 1 - 11 cdot e^-10 :
Portanto,

Passo 7

Calculando o valor numérico:
e^-10 approx 0,0000454
Então,
11 cdot e^-10 approx 0,000499
P(k >= 2) = 1 - 0,000499 approx 0,999501
Convertendo para porcentagem:
P(k >= 2) approx 99,95%

Resposta

a) A probabilidade de não haver nenhum atendimento em 5 minutos é aproximadamente 0,67%.
b) A probabilidade de haver pelo menos 2 atendimentos em 10 minutos é aproximadamente 99,95%.

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