Seja X: B(n, p). Sabendo-se que E(X)=12 e VAR(X)=4, determinar n, p, E(Z) e VAR (Z), sendo Z=X-63.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: temos uma variável aleatória E(X) = n p que segue uma distribuição binomial VAR(X) = n p (1 - p) . Sabemos que a média e a variância . Precisamos descobrir os valores de e , além de calcular e , onde .
Para resolver isso, vamos lembrar das fórmulas da média e da variância para a distribuição binomial:

Passo 2

Primeiro, vamos usar a fórmula da média para montar uma equação:
E(X) = n p = 12
Então, temos:
n p = 12 (1)

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da variância:
VAR(X) = n p (1 - p) = 4
Substituindo 12 (1 - p) = 4 da equação (1), fica:

Passo 4

Vamos resolver para 12 (1 - p) = 4 1 - p = 412 = 13 p = 1 - 13 = 23 :

Passo 5

Agora que encontramos n times 23 = 12 n = 12 times 32 = 18 , vamos substituir na equação (1) para encontrar :

Passo 6

Com E(Z) = E(X) - 63 = 12 - 63 = 63 = 2 e , vamos calcular . Sabemos que . A média de é:

Passo 7

Por fim, vamos calcular VAR(Z) = ( 13 )^2 VAR(X) = 19 times 4 = 49 . Usamos a propriedade das variâncias que diz que se , então . Aqui, e (que não afeta a variância):

Resposta

, , e

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