Verifique se o estimador para a variância a seguir é não viciado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o estimador da variância dado por
é não viciado. Isso está dentro do conteúdo de estatística, especificamente sobre estimadores de variância. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um estimador ser não viciado e calcular o valor esperado de $ S^{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um estimador não viciado. Um estimador é considerado não viciado se, em média, ele estima corretamente o parâmetro da população que estamos interessados. Ou seja, o valor esperado do estimador é igual ao parâmetro que ele está estimando. No nosso caso, queremos que o valor esperado de $ S^{2} $ seja igual à variância verdadeira da população, $ \sigma^{2} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado de $ S^{2} $. Sabemos que:
Para encontrar $ E[S^{2}] $, vamos usar uma propriedade importante da estatística: a soma dos quadrados das diferenças entre cada observação e a média amostral, $ \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} - \bar{X}\right)^{2} $, tem um valor esperado igual a $ (n-1)\sigma^{2} $. Isso acontece porque estamos usando $ n-1 $ no denominador, o que ajusta o estimador para que ele seja não viciado.
Então,
Passo 4
Dividindo ambos os lados da equação acima por $ n-1 $, temos:
Isso mostra que o valor esperado de $ S^{2} $ é igual à variância verdadeira $ \sigma^{2} $.
Resposta
Sim, o estimador $ S^{2} $ é não viciado, pois seu valor esperado é igual à variância verdadeira da população $ \sigma^{2} $.