Suponha que Xi, para i=1, ldots, 10, sejam variáveis aleatórias independentes, cada uma uniformemente distribuída no intervalo (0,1). Usando o Teorema Central do Limite (TCL), calcule uma aproximação para P(sumi=1^10 Xi>6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a probabilidade de que a soma de 10 variáveis aleatórias, cada uma distribuída uniformemente entre 0 e 1, seja maior que 6. A matéria envolvida aqui é Probabilidade, especificamente usando o Teorema Central do Limite (TCL). Para resolver, vamos precisar entender média e variância das variáveis uniformes, somar essas variáveis, e aplicar o TCL para aproximar a distribuição da soma como uma normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é uma distribuição uniforme. Se uma variável X é uniforme no intervalo (0,1), a média ( mu) dela é 12 e a variância ( sigma^2) é 112. Isso porque, para uma uniforme U(a,b), a média é a+b2 e a variância é (b-a)^212. No nosso caso, a=0 e b=1.

Passo 3

Como temos 10 variáveis independentes Xi, todas com média mu = 12 e variância sigma^2 = 112, a soma S = sumi=1^10 Xi terá média E[S] = 10 times 12 = 5 e variância Var(S) = 10 times 112 = 1012 = 56. A raiz quadrada da variância nos dá o desvio padrão: sigmaS = raiz56.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema Central do Limite. Ele diz que, para um número grande de variáveis independentes, a distribuição da soma delas tende a ser normal, mesmo que as variáveis originais não sejam. No nosso caso, mesmo sendo apenas 10 variáveis, vamos usar o TCL para aproximar a distribuição de S como uma normal com média 5 e desvio padrão raiz56.

Passo 5

Queremos calcular P(S > 6). Primeiro, vamos padronizar isso para uma distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão 1). A fórmula para padronizar é:
Z = S - muSsigmaS = 6 - 5raiz56 = 1raiz56 = 1raiz0.8333 approx 1.095

Passo 6

Agora, precisamos encontrar P(Z > 1.095) na tabela da distribuição normal padrão. Essa é a probabilidade de o valor padronizado ser maior que 1.095. Olhando na tabela ou usando uma calculadora de funções normais, encontramos que P(Z > 1.095) approx 0.136.

Resposta

A probabilidade aproximada de que a soma das 10 variáveis seja maior que 6 é de 13,6%.

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