Suponha que
, para
, sejam variáveis aleatórias independentes, cada uma uniformemente distribuída no intervalo
. Usando o Teorema Central do Limite (TCL), calcule uma aproximação para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a probabilidade de que a soma de 10 variáveis aleatórias, cada uma distribuída uniformemente entre 0 e 1, seja maior que 6. A matéria envolvida aqui é Probabilidade, especificamente usando o Teorema Central do Limite (TCL). Para resolver, vamos precisar entender média e variância das variáveis uniformes, somar essas variáveis, e aplicar o TCL para aproximar a distribuição da soma como uma normal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é uma distribuição uniforme. Se uma variável
é uniforme no intervalo
, a média (
) dela é
e a variância (
) é
. Isso porque, para uma uniforme
, a média é
e a variância é
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Como temos 10 variáveis independentes
, todas com média
e variância
, a soma
terá média
e variância
. A raiz quadrada da variância nos dá o desvio padrão:
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema Central do Limite. Ele diz que, para um número grande de variáveis independentes, a distribuição da soma delas tende a ser normal, mesmo que as variáveis originais não sejam. No nosso caso, mesmo sendo apenas 10 variáveis, vamos usar o TCL para aproximar a distribuição de
como uma normal com média 5 e desvio padrão
.
Passo 5
Queremos calcular
. Primeiro, vamos padronizar isso para uma distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão 1). A fórmula para padronizar é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
na tabela da distribuição normal padrão. Essa é a probabilidade de o valor padronizado ser maior que 1.095. Olhando na tabela ou usando uma calculadora de funções normais, encontramos que
.
Resposta
A probabilidade aproximada de que a soma das 10 variáveis seja maior que 6 é de 13,6%.