Um próton (carga +e , massa mP ), um dêuteron (carga +e , massa 2 mP ), e uma partícula alfa (carga +2 e , massa mP ) são acelerados através de uma diferença de potencial comum V. As partículas entram em um campo magnético uniforme B com velocidade na direção perpendicular a B . O próton se move numa trajetória circular de raio rP. Determine os valores dos raios das órbitas circulares do dêuteron (rd) e da partícula alfa (ralpha) em função de rP. Dica: v= raiz2 K / m, sendo K a energia cinética da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um próton, um dêuteron e uma partícula alfa que são acelerados por uma mesma diferença de potencial $ V $ e depois entram num campo magnético uniforme $ B $, se movendo perpendicularmente a ele. O próton segue uma trajetória circular com raio $ r_P V ãéóê r_d B í r_\alpha $) em função de $ r_P $. Para isso, vamos precisar entender como a velocidade das partículas está relacionada com a energia cinética e como o campo magnético afeta o movimento delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma carga elétrica é acelerada por uma diferença de potencial $ V $, a energia cinética $ K $ que ela ganha é dada por:
V
onde $ q $ é a carga da partícula.

Passo 3

Agora, a velocidade $ v $ de cada partícula pode ser encontrada usando a relação entre energia cinética e massa:
v
Substituindo $ K $ na equação:
v = raiz2Km

Passo 4

Quando uma partícula com carga $ q $ e velocidade $ v $ entra num campo magnético $ B $ perpendicular à sua direção, ela descreve uma trajetória circular com raio $ r $ dado por:
q
Essa é a fórmula do raio da órbita circular no campo magnético.

Passo 5

Vamos agora aplicar essas fórmulas para cada uma das partículas:
Para o próton:
  • Carga: $ q_P = +e $
  • Massa: $ m_P $
  • Velocidade: $ v_P = \sqrt{\frac{2eV}{m_P}} $
  • Raio: $ r_P = \frac{m_P \cdot v_P}{e \cdot B} $
Para o dêuteron:
  • Carga: $ q_d = +e $
  • Massa: $ m_d = 2m_P $
  • Velocidade: $ v_d = \sqrt{\frac{2eV}{2m_P}} = \frac{v_P}{\sqrt{2}} $
  • Raio: $ r_d = \frac{2m_P \cdot \frac{v_P}{\sqrt{2}}}{e \cdot B} = \sqrt{2} \cdot r_P $
Para a partícula alfa:
  • Carga: $ q_\alpha = +2e $
  • Massa: $ m_\alpha = m_P $
  • Velocidade: $ v_\alpha = \sqrt{\frac{2 \cdot 2eV}{m_P}} = \sqrt{2} \cdot v_P $
  • Raio: $ r_\alpha = \frac{m_P \cdot \sqrt{2} \cdot v_P}{2e \cdot B} = \frac{r_P}{\sqrt{2}} $

Resposta

Portanto, os raios das órbitas circulares são:
rd = raiz2 cdot rP
ralpha = rPraiz2

Exercícios relacionados