Um próton está confinado a se mover em uma caixa unidimensional de largura 0,200 nm. (a) Encontre a menor energia possível do próton. (b) Qual é a menor energia possível de um elétron confinado na mesma caixa? © Como você explica a grande diferença em seus resultados para (a) e (b)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um próton e um elétron confinados em uma caixa unidimensional de largura 0,200 nm. Vamos usar conceitos de quantização de energia em uma caixa quântica. Para isso, precisamos conhecer a fórmula da energia dos níveis quantizados e os valores das massas do próton e do elétron.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia para uma partícula em uma caixa unidimensional:
En = n^2 h^28 m L^2
Onde:
  • En é a energia no nível n,
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , J cdot s),
  • m é a massa da partícula,
  • L é a largura da caixa,
  • n é o número quântico (para a menor energia, n=1).

Passo 3

Vamos resolver a parte (a): encontrar a menor energia possível do próton.
Primeiro, identificamos os valores:
  • Massa do próton mp = 1,673 times 10^-27 , kg,
  • Largura da caixa L = 0,200 , nm = 0,200 times 10^-9 , m,
  • Número quântico n = 1.
Substituindo na fórmula:
E1 = (1)^2 times (6,626 times 10^-34)^28 times 1,673 times 10^-27 times (0,200 times 10^-9)^2
Calculando isso:
E1 approx 3,28 times 10^-21 , J

Passo 4

Agora, a parte (b): qual é a menor energia possível de um elétron na mesma caixa.
Valores necessários:
  • Massa do elétron me = 9,109 times 10^-31 , kg,
  • Os outros valores continuam os mesmos.
Usando a mesma fórmula:
E1 = (1)^2 times (6,626 times 10^-34)^28 times 9,109 times 10^-31 times (0,200 times 10^-9)^2
Calculando isso:
E1 approx 3,31 times 10^-18 , J

Passo 5

Finalmente, a parte ©: por que há uma grande diferença nos resultados das partes (a) e (b)?
A grande diferença se deve principalmente à massa das partículas. O próton é muito mais pesado que o elétron. Na fórmula da energia, a massa está no denominador, então quanto maior a massa, menor a energia. Assim, o próton, sendo mais pesado, tem uma menor energia quantizada comparado ao elétron na mesma caixa.

Resposta

(a) A menor energia possível do próton é aproximadamente 3,28 times 10^-21 , J.
(b) A menor energia possível do elétron é aproximadamente 3,31 times 10^-18 , J.
© A grande diferença nas energias se deve à massa das partículas: o próton é muito mais pesado que o elétron, resultando em uma energia quantizada significativamente menor para o próton na mesma caixa.

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