Um próton está confinado a se mover em uma caixa unidimensional de largura
. (a) Encontre a menor energia possível do próton. (b) Qual é a menor energia possível de um elétron confinado na mesma caixa? © Como você explica a grande diferença em seus resultados para (a) e (b)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um próton e um elétron confinados em uma caixa unidimensional de largura
. Vamos usar conceitos de quantização de energia em uma caixa quântica. Para isso, precisamos conhecer a fórmula da energia dos níveis quantizados e os valores das massas do próton e do elétron.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia para uma partícula em uma caixa unidimensional:
Onde:
-
é a energia no nível , -
é a constante de Planck ( ), -
é a massa da partícula, -
é a largura da caixa, -
é o número quântico (para a menor energia, ).
Passo 3
Vamos resolver a parte (a): encontrar a menor energia possível do próton.
Primeiro, identificamos os valores:
- Massa do próton
, - Largura da caixa
, - Número quântico
.
Substituindo na fórmula:
Calculando isso:
Passo 4
Agora, a parte (b): qual é a menor energia possível de um elétron na mesma caixa.
Valores necessários:
- Massa do elétron
, - Os outros valores continuam os mesmos.
Usando a mesma fórmula:
Calculando isso:
Passo 5
Finalmente, a parte ©: por que há uma grande diferença nos resultados das partes (a) e (b)?
A grande diferença se deve principalmente à massa das partículas. O próton é muito mais pesado que o elétron. Na fórmula da energia, a massa está no denominador, então quanto maior a massa, menor a energia. Assim, o próton, sendo mais pesado, tem uma menor energia quantizada comparado ao elétron na mesma caixa.
Resposta
(a) A menor energia possível do próton é aproximadamente
.
(b) A menor energia possível do elétron é aproximadamente
.
© A grande diferença nas energias se deve à massa das partículas: o próton é muito mais pesado que o elétron, resultando em uma energia quantizada significativamente menor para o próton na mesma caixa.
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Verifique explicitamente que a função
é uma solução da equação de Schrödinger para o caso do interior de um poço quadrado infinito e para quaisquer valores das constantes
e
.
Em uma certa região do espaço, uma partícula é descrita pela função de onda
onde
e
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.)
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incidindo sobre uma barreira de potencial de
e largura
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.
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