Para uma partícula em uma caixa em seu estado fundamental (poço infinito), utilizando os operadores adequados, calcule o valor esperado: (a) da posição; (b) do momento linear; © da energia cinética; (d) e da energia total.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula dentro de uma caixa com paredes infinitamente altas, no seu estado fundamental. Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, mais especificamente do estudo de poços de potencial. Vamos calcular o valor esperado de quatro grandezas: posição, momento linear, energia cinética e energia total. Para isso, vamos precisar usar as funções de onda, operadores e valores esperados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a função de onda para a partícula no estado fundamental em uma caixa de comprimento
. A função de onda é dada por:
Essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma determinada posição
dentro da caixa.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado da posição
. O valor esperado é uma média ponderada das posições possíveis, dada por:
Como a função de onda é real,
, então:
Resolvendo essa integral, descobrimos que:
Isso faz sentido porque a partícula tem simetria em relação ao centro da caixa.
Passo 4
Agora, vamos ao valor esperado do momento linear
. O operador de momento é:
Então, o valor esperado é:
Calculando a derivada de
:
Substituindo na integral:
A integral de
de 0 a
é zero, então:
Isso ocorre porque, no estado fundamental, a partícula não tem momento preferencial em nenhuma direção.
Passo 5
Vamos calcular agora o valor esperado da energia cinética
. O operador de energia cinética é:
Então, o valor esperado é:
Calculando a segunda derivada de
:
Substituindo na integral:
Passo 6
Por fim, vamos obter a energia total
. No estado fundamental, a energia total é simplesmente a energia cinética, já que a energia potencial é zero dentro da caixa. Portanto:
Resposta
(a) Valor esperado da posição:
(b) Valor esperado do momento linear:
© Valor esperado da energia cinética:
(d) Valor esperado da energia total: