Para uma partícula em uma caixa em seu estado fundamental (poço infinito), utilizando os operadores adequados, calcule o valor esperado: (a) da posição; (b) do momento linear; © da energia cinética; (d) e da energia total.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula dentro de uma caixa com paredes infinitamente altas, no seu estado fundamental. Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, mais especificamente do estudo de poços de potencial. Vamos calcular o valor esperado de quatro grandezas: posição, momento linear, energia cinética e energia total. Para isso, vamos precisar usar as funções de onda, operadores e valores esperados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a função de onda para a partícula no estado fundamental em uma caixa de comprimento psi(x) = raiz2L sin(pi xL) . A função de onda é dada por:
Essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma determinada posição dentro da caixa.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado da posição lang<= x rang<= = integral0^L psi^*(x) , x , psi(x) , dx . O valor esperado é uma média ponderada das posições possíveis, dada por:
lang<= x rang<= = 2L integral0^L x sin^2(pi xL) dx
Como a função de onda é real, lang<= x rang<= = L2 , então:
Resolvendo essa integral, descobrimos que:
Isso faz sentido porque a partícula tem simetria em relação ao centro da caixa.

Passo 4

Agora, vamos ao valor esperado do momento linear p = -ihbar ddx . O operador de momento é:
lang<= p rang<= = integral0^L psi^*(x) (-ihbar ddx) psi(x) dx
Então, o valor esperado é:
ddx psi(x) = raiz2L piL cos(pi xL)
Calculando a derivada de lang<= p rang<= = -ihbar 2L piL integral0^L sin(pi xL) cos(pi xL) dx :
lang<= p rang<= = 0
Substituindo na integral:
A integral de de 0 a é zero, então:
Isso ocorre porque, no estado fundamental, a partícula não tem momento preferencial em nenhuma direção.

Passo 5

Vamos calcular agora o valor esperado da energia cinética T = p^22m = -hbar^22m d^2dx^2 . O operador de energia cinética é:
lang<= T rang<= = -hbar^22m integral0^L psi^*(x) d^2dx^2 psi(x) dx
Então, o valor esperado é:
d^2dx^2 psi(x) = -2L^2 pi^2 psi(x)
Calculando a segunda derivada de lang<= T rang<= = hbar^2 pi^22m L^2 integral0^L psi^2(x) dx = hbar^2 pi^22m L^2 :
Substituindo na integral:

Passo 6

Por fim, vamos obter a energia total lang<= E rang<= = lang<= T rang<= = hbar^2 pi^22m L^2 . No estado fundamental, a energia total é simplesmente a energia cinética, já que a energia potencial é zero dentro da caixa. Portanto:

Resposta

(a) Valor esperado da posição:
(b) Valor esperado do momento linear:
© Valor esperado da energia cinética:
(d) Valor esperado da energia total:

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