Verifique explicitamente que a função
psi(x)=A sen k x+B cos k x
é uma solução da equação de Schrödinger para o caso do interior de um poço quadrado infinito e para quaisquer valores das constantes A e B.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma função
psi(x) = A sen(k x) + B cos(k x)
e precisa verificar se ela é uma solução da Equação de Schrödinger para o interior de um poço quadrado infinito. Isso significa que essa função deve satisfazer a equação de Schrödinger independente do tempo dentro do poço, e isso deve valer para quaisquer valores das constantes e .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a equação de Schrödinger para esse cenário e substituir nossa função nela para checar se a igualdade se sustenta.

Passo 2

Vamos relembrar a Equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
- hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + V(x) psi(x) = E psi(x)
No caso do poço quadrado infinito, o potencial - hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x) é zero dentro do poço e infinito fora. Como estamos verificando para o interior do poço, podemos considerar . Assim, a equação fica:
Nosso objetivo é mostrar que, ao substituir nessa equação, a igualdade é satisfeita para quaisquer e .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de psi(x) = A sen(k x) + B cos(k x) em relação a dpsi(x)dx = A k cos(k x) - B k sen(k x) :
d^2psi(x)dx^2 = -A k^2 sen(k x) - B k^2 cos(k x) = -k^2 psi(x)
Derivando uma vez:
Derivando de novo:

Passo 4

Agora, vamos substituir - hbar^22m (-k^2 psi(x)) = E psi(x) na equação de Schrödinger:
hbar^2 k^22m psi(x) = E psi(x)
Simplificando:
E = hbar^2 k^22m
Podemos ver que isso implica que:
Ou seja, a energia está relacionada com o valor de .

Passo 5

Observamos que a igualdade é satisfeita para qualquer e , desde que seja escolhida de acordo com conforme a relação . Isso mostra que não importa os valores de e , desde que a energia esteja relacionada com dessa maneira, a fun��ão será uma solução válida.

Resposta

Portanto, a função
psi(x) = A sen(k x) + B cos(k x)
é de fato uma solução da Equação de Schrödinger para o interior de um poço quadrado infinito, independentemente dos valores das constantes e , desde que a energia esteja relacionada com por .

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