Verifique explicitamente que a função
é uma solução da equação de Schrödinger para o caso do interior de um poço quadrado infinito e para quaisquer valores das constantes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma função
e precisa verificar se ela é uma solução da Equação de Schrödinger para o interior de um poço quadrado infinito. Isso significa que essa função deve satisfazer a equação de Schrödinger independente do tempo dentro do poço, e isso deve valer para quaisquer valores das constantes
e
.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a equação de Schrödinger para esse cenário e substituir nossa função nela para checar se a igualdade se sustenta.
Passo 2
Vamos relembrar a Equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
No caso do poço quadrado infinito, o potencial
é zero dentro do poço e infinito fora. Como estamos verificando para o interior do poço, podemos considerar
. Assim, a equação fica:
Nosso objetivo é mostrar que, ao substituir
nessa equação, a igualdade é satisfeita para quaisquer
e
.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Derivando uma vez:
Derivando de novo:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na equação de Schrödinger:
Simplificando:
Podemos ver que isso implica que:
Ou seja, a energia
está relacionada com o valor de
.
Passo 5
Observamos que a igualdade
é satisfeita para qualquer
e
, desde que
seja escolhida de acordo com
conforme a relação
. Isso mostra que não importa os valores de
e
, desde que a energia
esteja relacionada com
dessa maneira, a fun��ão
será uma solução válida.
Resposta
Portanto, a função
é de fato uma solução da Equação de Schrödinger para o interior de um poço quadrado infinito, independentemente dos valores das constantes
e
, desde que a energia
esteja relacionada com
por
.
Exercícios relacionados
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onde
e
são constantes reais. Substituindo na equação de Schrödinger independente do tempo, encontre a energia potencial nesta região e também a energia da partícula. (Dica: sua solução deve fornecer uma energia que seja uma constante em toda a região, independente de
.)
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?
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.