Verifique explicitamente que a função
é uma solução da equação de Schrödinger para o caso do interior de um poço quadrado infinito e para quaisquer valores das constantes e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma função
e precisa verificar se ela é uma solução da Equação de Schrödinger para o interior de um poço quadrado infinito. Isso significa que essa função deve satisfazer a equação de Schrödinger independente do tempo dentro do poço, e isso deve valer para quaisquer valores das constantes e .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a equação de Schrödinger para esse cenário e substituir nossa função nela para checar se a igualdade se sustenta.

Passo 2

Vamos relembrar a Equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
No caso do poço quadrado infinito, o potencial é zero dentro do poço e infinito fora. Como estamos verificando para o interior do poço, podemos considerar . Assim, a equação fica:
Nosso objetivo é mostrar que, ao substituir nessa equação, a igualdade é satisfeita para quaisquer e .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Derivando uma vez:
Derivando de novo:

Passo 4

Agora, vamos substituir na equação de Schrödinger:
Simplificando:
Podemos ver que isso implica que:
Ou seja, a energia está relacionada com o valor de .

Passo 5

Observamos que a igualdade é satisfeita para qualquer e , desde que seja escolhida de acordo com conforme a relação . Isso mostra que não importa os valores de e , desde que a energia esteja relacionada com dessa maneira, a fun��ão será uma solução válida.

Resposta

Portanto, a função
é de fato uma solução da Equação de Schrödinger para o interior de um poço quadrado infinito, independentemente dos valores das constantes e , desde que a energia esteja relacionada com por .

Exercícios relacionados

Em uma certa região do espaço, uma partícula é descrita pela função de onda onde e são constantes reais. Substituindo na equação de Schrödinger independente do tempo, encontre a energia potencial nesta região e também a energia da partícula. (Dica: sua solução deve fornecer uma energia que seja uma constante em toda a região, independente de .)
Uma partícula em um poço infinito está no estado fundamental com uma energia de 1,26 eV . Quanta energia deve ser adicionada à partícula para atingir o segundo estado excitado ? 0 terceiro estado excitado ?
Um próton está confinado a se mover em uma caixa unidimensional de largura . (a) Encontre a menor energia possível do próton. (b) Qual é a menor energia possível de um elétron confinado na mesma caixa? © Como você explica a grande diferença em seus resultados para (a) e (b)?
Considere um elétron com energia cinética incidindo sobre uma barreira de potencial de e largura . Qual a probabilidade de ocorrer o tunelamento da partícula? Massa do elétron: .