Considere um elétron com energia cinética 2,0 eV incidindo sobre uma barreira de potencial de 10,0 eV e largura 0,1 nm. Qual a probabilidade de ocorrer o tunelamento da partícula? Massa do elétron: 9,11 times 10^-31 kg.

Passo 1

Vamos lá! Temos um elétron com energia cinética de 2,0 eV que está se deparando com uma barreira de potencial de 10,0 eV e largura de 0,1 nm. Nosso objetivo é descobrir qual é a probabilidade desse elétron conseguir “tunelar” através dessa barreira, ou seja, passar por ela mesmo tendo energia menor que a barreira. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o efeito túnel, e aplicar a fórmula do coeficiente de transmissão usando a aproximação WKB.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o efeito túnel. Na mecânica clássica, se uma partícula não tem energia suficiente para superar uma barreira, ela simplesmente não passa. Porém, na mecânica quântica, há uma chance de a partícula “tunelar” através da barreira mesmo sem ter energia suficiente. Essa probabilidade é dada pelo coeficiente de transmissão T.

Passo 3

A fórmula para o coeficiente de transmissão T na aproximação WKB para uma barreira de potencial V0 maior que a energia da partícula E é:
T approx e^-2 gamma a
onde:
  • gamma é dado por gamma = raiz2m(V0 - E)hbar^2
  • a é a largura da barreira
  • m é a massa do elétron
  • hbar é a constante de Planck reduzida, que vale aproximadamente 1,0545718 times 10^-34 J cdot s

Passo 4

Vamos calcular gamma primeiro. Substituindo os valores:
gamma = raiz2 times 9,11 times 10^-31 kg times (10,0 eV - 2,0 eV) times 1,602 times 10^-19 J/eV(1,0545718 times 10^-34 J cdot s)^2
Primeiro, convertendo a diferença de energia de eV para Joules:
10,0 eV - 2,0 eV = 8,0 eV times 1,602 times 10^-19 J/eV = 1,2816 times 10^-18 J
Substituindo na expressão de gamma:
gamma = raiz2 times 9,11 times 10^-31 kg times 1,2816 times 10^-18 J(1,0545718 times 10^-34 J cdot s)^2
Calculando o numerador e o denominador:
gamma = raiz2 times 9,11 times 10^-31 times 1,2816 times 10^-181,112 times 10^-68

Passo 5

Agora que temos gamma, vamos calcular o coeficiente de transmissão T usando a largura da barreira a = 0,1 nm = 0,1 times 10^-9 m:
T approx e^-2 times 1,45 times 10^10 m^-1 times 0,1 times 10^-9 m = e^-2,9
Calculando o valor de e^-2,9:
T approx e^-2,9 approx 0,055 ou 5,5%

Resposta

A probabilidade de ocorrer o tunelamento do elétron através da barreira é aproximadamente 5,5%.

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