Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram um problema. Qual a probabilidade ede que um aluno, escolhido ao acaso:
(a) não tenha acertado nenhum problema?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma prova com dois problemas e algumas informações sobre quantos alunos acertaram ou erraram cada um deles. O assunto aqui é probabilidade, e vamos precisar usar conceitos de conjuntos e probabilidade básica para resolver. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de um aluno, escolhido aleatoriamente, não ter acertado nenhum dos problemas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que temos:
  • 132 alunos acertaram o primeiro problema.
  • 86 alunos erraram o segundo problema.
  • 120 alunos acertaram os dois problemas.
  • 54 alunos acertaram apenas um problema.

Passo 3

Vamos visualizar isso como um diagrama de Venn, onde temos dois conjuntos:
  • : alunos que acertaram o primeiro problema.
  • : alunos que acertaram o segundo problema.
Sabemos que:
  • (alunos que acertaram ambos)
  • Alunos que acertaram apenas um problema: 54.

Passo 4

Para encontrar o número de alunos que acertaram apenas o primeiro problema, subtraímos os que acertaram ambos de 132:
|A apenas| = |A| - |A cap B| = 132 - 120 = 12
Da mesma forma, os que acertaram apenas o segundo problema:
|B apenas| = Alunos que acertaram apenas um prob<=ma - |A apenas| = 54 - 12 = 42

Passo 5

Agora, vamos encontrar o total de alunos que acertaram pelo menos um problema:
|A cup B| = |A apenas| + |B apenas| + |A cap B| = 12 + 42 + 120 = 174

Passo 6

Para achar o número de alunos que não acertaram nenhum problema, precisamos saber o total de alunos. Porém, essa informação não foi dada diretamente. No entanto, podemos calcular o total usando os dados fornecidos.
Sabemos que:
  • Alunos que erraram o segundo problema: 86
  • Isso inclui alunos que acertaram apenas o primeiro problema e os que não acertaram nenhum.
Então:
Alunos que erraram o segundo = |A apenas| + Nenhum = 12 + Nenhum = 86
Nenhum = 86 - 12 = 74

Passo 7

Agora que sabemos que 74 alunos não acertaram nenhum problema, podemos encontrar a probabilidade.
Se o total de alunos é P(Nenhum) = NenhumTotal de alunos = 74248 , então a probabilidade de um aluno não ter acertado nenhum problema é:

Resposta

A probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, não ter acertado nenhum dos problemas é de , que simplificada é aproximadamente 0,298 ou 29,8%.

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