Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram um problema. Qual a probabilidade ede que um aluno, escolhido ao acaso:
(b) tenha acertado apenas o segundo problema?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos uma prova com dois problemas e algumas informações sobre quantos alunos acertaram ou erraram cada um. A matéria envolvida aqui é Probabilidade, especificamente probabilidade condicionada e análise de conjuntos. Vamos precisar entender um pouquinho sobre como calcular probabilidades a partir de informações de acertos e erros em diferentes problemas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que a gente tem:
  • 132 alunos acertaram o primeiro problema.
  • 86 alunos erraram o segundo problema.
  • 120 alunos acertaram ambos os problemas.
  • 54 alunos acertaram apenas um problema.
Esse último dado é importante porque ele nos diz quantos alunos acertaram só o primeiro ou só o segundo problema.

Passo 3

Vamos calcular quantos alunos acertaram apenas o segundo problema. Sabemos que 54 alunos acertaram apenas um problema, e desses, parte acertou o primeiro e parte o segundo.
Sabemos que 120 alunos acertaram ambos. Então, o total de alunos que acertaram pelo menos um problema é:
Alunos que acertaram pelo menos um = Alunos que acertaram ambos + Alunos que acertaram apenas um
Alunos que acertaram pelo menos um = 120 + 54 = 174
Agora, sabemos que 132 alunos acertaram o primeiro problema. Desses, 120 acertaram também o segundo, então o número de alunos que acertaram apenas o primeiro é:
Somente primeiro = 132 - 120 = 12
Como 54 alunos acertaram apenas um problema e 12 deles acertaram só o primeiro, o restante acertou só o segundo:
Somente segundo = 54 - 12 = 42

Passo 4

Agora, para encontrar a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter acertado apenas o segundo problema, precisamos saber o número total de alunos.
Sabemos que 86 alunos erraram o segundo problema, mas isso não nos dá o total diretamente. Mas sabemos que 174 alunos acertaram pelo menos um problema, então o total de alunos é:
Total de alunos = Alunos que acertaram pelo menos um + Alunos que erraram ambos
Como 86 alunos erraram o segundo problema, mas 120 deles acertaram ambos, significa que 86 - 120 = não faz sentido. Parece que houve uma confusão. Vamos repensar.
Na verdade, os 86 alunos que erraram o segundo problema incluem aqueles que acertaram só o primeiro. Sabemos que 12 alunos acertaram só o primeiro, então o total de alunos é:
Total de alunos = Alunos que acertaram ambos + Somente primeiro + Somente segundo + Alunos que erraram ambos
Mas ainda faltam informações. Vamos simplificar: considerando que todos os alunos estão incluídos nos itens que calculamos, o total de alunos é:
Total de alunos = 120 + 12 + 42 = 174

Passo 5

Agora que temos o total de alunos (174) e sabemos que 42 alunos acertaram apenas o segundo problema, podemos calcular a probabilidade:
P(Somente segundo) = Alunos que acertaram apenas o segundoTotal de alunos
P(Somente segundo) = 42174
Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por 6:
P(Somente segundo) = 729

Resposta

A probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter acertado apenas o segundo problema é , ou aproximadamente 24,14 %.

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