Quantas são as soluções inteiras positivas da equação
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar quantas soluções inteiras positivas existem para a equação
. Isso está ligado à combinatória, especificamente ao método conhecido como “estrelas e barras”. Para resolver, vamos precisar entender como distribuir 10 unidades entre as três variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter soluções inteiras positivas. Queremos que
,
e
sejam números inteiros maiores que zero que, juntos, somem 10. Por exemplo, uma solução seria
,
,
, porque
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método das estrelas e barras. Imagine que temos 10 estrelas (
) que representam as unidades que queremos distribuir. Queremos dividir essas estrelas em 3 grupos (para
,
e
) usando 2 barras (
). Por exemplo:
Isso representa
,
,
.
Passo 4
Para encontrar o número total de soluções, precisamos calcular de quantas maneiras podemos organizar essas 10 estrelas e 2 barras. No total, temos
posições, e precisamos escolher 2 dessas posições para as barras. A fórmula para isso é a combinação:
Passo 5
No entanto, como estamos lidando com soluções inteiras positivas, cada variável deve receber pelo menos uma estrela. Para garantir isso, vamos “reservar” 1 estrela para cada variável. Isso significa que já distribuímos 3 estrelas (1 para cada variável) e restam
estrelas para distribuir livremente.
Passo 6
Agora, aplicamos novamente o método das estrelas e barras para as 7 estrelas restantes e 2 barras:
Resposta
Existem 36 soluções inteiras positivas para a equação
.
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