Quantas são as soluções inteiras positivas da equação x+y+z=10 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar quantas soluções inteiras positivas existem para a equação . Isso está ligado à combinatória, especificamente ao método conhecido como “estrelas e barras”. Para resolver, vamos precisar entender como distribuir 10 unidades entre as três variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter soluções inteiras positivas. Queremos que , e sejam números inteiros maiores que zero que, juntos, somem 10. Por exemplo, uma solução seria , , , porque .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método das estrelas e barras. Imagine que temos 10 estrelas ( **|***|***** ) que representam as unidades que queremos distribuir. Queremos dividir essas estrelas em 3 grupos (para , e ) usando 2 barras ( ). Por exemplo:
Isso representa , , .

Passo 4

Para encontrar o número total de soluções, precisamos calcular de quantas maneiras podemos organizar essas 10 estrelas e 2 barras. No total, temos binom122 = 12!2! cdot (12-2)! = 12 times 112 times 1 = 66 posições, e precisamos escolher 2 dessas posições para as barras. A fórmula para isso é a combinação:

Passo 5

No entanto, como estamos lidando com soluções inteiras positivas, cada variável deve receber pelo menos uma estrela. Para garantir isso, vamos “reservar” 1 estrela para cada variável. Isso significa que já distribuímos 3 estrelas (1 para cada variável) e restam estrelas para distribuir livremente.

Passo 6

Agora, aplicamos novamente o método das estrelas e barras para as 7 estrelas restantes e 2 barras:
binom7 + 22 = binom92 = 9!2! cdot (9-2)! = 9 times 82 times 1 = 36

Resposta

Existem 36 soluções inteiras positivas para a equação .

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