Em uma prova de futebol americano, um jogador corre um trecho de 36 m em 4,25 segundos. Se ele alcança a sua velocidade máxima na marca de 14 m com uma aceleração constante e depois mantém esta velocidade no restante da corrida, determine a sua aceleração nos primeiros 14 metros, sua velocidade máxima e o tempo de duração da aceleração.
Passo 1
Então, a gente tem um jogador de futebol americano que corre 36 metros em 4,25 segundos. Ele acelera de maneira constante até chegar na velocidade máxima quando já percorreu 14 metros, e depois mantém essa velocidade até terminar os 36 metros. A gente vai precisar usar os conceitos de cinemática, como aceleração, velocidade e tempo, para descobrir três coisas: qual foi a aceleração dele nos primeiros 14 metros, qual é a velocidade máxima que ele alcançou e quanto tempo ele levou para acelerar até essa velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a aceleração de $ a $, a velocidade máxima de $ v $ e o tempo de aceleração de $ t_1 $. Sabemos que ele percorre os primeiros 14 metros com aceleração constante, então podemos usar a fórmula da distância em função do tempo com aceleração:
Aqui, $ s = 14 $ metros.
Passo 3
Também sabemos que, ao final da aceleração, ele atinge a velocidade máxima $ v $, que pode ser expressa pela fórmula da velocidade com aceleração constante:
Passo 4
Depois de atingir a velocidade máxima, ele percorre os próximos $ 36 - 14 = 22 $ metros mantendo essa velocidade $ v $. O tempo que ele leva para percorrer esses 22 metros é $ t_2 $, e podemos usar a fórmula:
Então, temos:
Passo 5
O tempo total da corrida é a soma do tempo de aceleração $ t_1 $ e do tempo mantendo a velocidade $ t_2 $:
Passo 6
Agora, vamos usar as equações que temos para resolver o sistema. Primeiro, da equação da velocidade:
E da distância durante a aceleração:
Podemos substituir $ v $ na segunda equação:
Então,
Passo 7
Da equação $ 22 = v t_2 $ e a soma dos tempos $ t_1 + t_2 = 4,25 $, podemos expressar $ t_2 $ como:
Substituindo na equação da distância:
Passo 8
Agora, temos duas equações:
- $ v t_1 = 28 $
- $ v (4,25 - t_1) = 22 $
Vamos substituir $ v = \frac{28}{t_1} $ na segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por $ t_1 $:
Passo 9
Agora que temos $ t_1 = 2,38 $ segundos, podemos encontrar a velocidade máxima:
E o tempo $ t_2 $:
Passo 10
Por fim, vamos encontrar a aceleração $ a $ usando $ v = a t_1 $:
Resposta
A aceleração do jogador nos primeiros 14 metros foi de aproximadamente $ 4,94 , m/s^2 $, a velocidade máxima que ele alcançou foi de $ 11,76 , m/s $, e o tempo que ele levou para acelerar até essa velocidade foi de $ 2,38 $ segundos.