Provar a desigualdade de cauchy-Schwartz para dois vetores v, w em R^n, através de uma análise da função
f(t) = ||v - t*w||, t em R
quanto a máximo e mínimo. A desigualdade é
|<v, w>| <= ||v|| * ||w||, para todo v, w em R^n

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para dois vetores e em . Vamos usar a função para analisar seus máximos e mínimos. Para isso, precisamos entender conceitos de produto interno, norma de vetores e como analisar funções para encontrar seus pontos mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno entre dois vetores e é dado por . A norma de um vetor é .

Passo 3

Agora, vamos expressar a função usando o produto interno:
Para facilitar os cálculos, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Expandindo o produto interno:
Simplificando, temos:

Passo 5

Para encontrar o mínimo dessa função em relação a , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo para :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de :
Simplificando:

Passo 7

Como representa um quadrado da norma, ele deve ser maior ou igual a zero:
Rearranjando os termos:

Passo 8

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
O que é exatamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz!

Resposta

A desigualdade de Cauchy-Schwarz é comprovada:

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