Provar a desigualdade de cauchy-Schwartz para dois vetores
, através de uma análise da função
quanto a máximo e mínimo. A desigualdade é
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para dois vetores
e
em
. Vamos usar a função
para analisar seus máximos e mínimos. Para isso, precisamos entender conceitos de produto interno, norma de vetores e como analisar funções para encontrar seus pontos mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto interno entre dois vetores
e
é dado por
. A norma de um vetor
é
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a função
usando o produto interno:
Para facilitar os cálculos, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Expandindo o produto interno:
Simplificando, temos:
Passo 5
Para encontrar o mínimo dessa função em relação a
, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Substituindo
de volta na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Como
representa um quadrado da norma, ele deve ser maior ou igual a zero:
Rearranjando os termos:
Passo 8
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
O que é exatamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz!
Resposta
A desigualdade de Cauchy-Schwarz é comprovada:
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pts