Seja a área do paralelograma gerado por e , e as áreas das projeções ortogonais nos planos e , respectivamente.
Provar que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional, e . Esses vetores formam um paralelogramo, e é a área desse paralelogramo. Além disso, , e são as áreas das projeções desse paralelogramo nos planos , e , respectivamente. Nosso objetivo é provar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar o produto vetorial e as propriedades das projeções ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um paralelogramo formado por dois vetores. A área é dada pelo módulo do produto vetorial dos vetores e :
O produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais, e o seu módulo representa a área do paralelogramo.
Passo 3
Agora, vamos calcular as áreas das projeções nos planos , e .
Para o plano , a projeção dos vetores e descartam a componente , ficando e . A área é então:
Similarmente, para o plano :
E para o plano :
Passo 4
Agora, vamos expressar usando o produto vetorial. Sabemos que:
Então:
Usando a propriedade do produto escalar, isso se torna:
Passo 5
Vamos expandir :
Então:
Passo 6
Observando as expressões que encontramos para , e , vemos que: