Seja S a área do paralelograma gerado por v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3), Sxy, Sxz e Syz as áreas das projeções ortogonais nos planos (x, y, 0), (x, 0, z) e (0, y, z), respectivamente.
Provar que
S^2 = Sxy^2 + Sxz^2 + Syz^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional, e . Esses vetores formam um paralelogramo, e S é a área desse paralelogramo. Além disso, , e são as áreas das projeções desse paralelogramo nos planos xy, e , respectivamente. Nosso objetivo é provar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar o produto vetorial e as propriedades das projeções ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um paralelogramo formado por dois vetores. A área S é dada pelo módulo do produto vetorial dos vetores v e w:
O produto vetorial v x w resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais, e o seu módulo representa a área do paralelogramo.

Passo 3

Agora, vamos calcular as áreas das projeções nos planos xy, e .
  • Para o plano xy, a projeção dos vetores v e w descartam a componente z, ficando e . A área é então:
  • Similarmente, para o plano :
  • E para o plano :

Passo 4

Agora, vamos expressar S^2 usando o produto vetorial. Sabemos que:
Então:
Usando a propriedade do produto escalar, isso se torna:

Passo 5

Vamos expandir v x w:
Então:

Passo 6

Observando as expressões que encontramos para , e , vemos que:
Portanto:

Resposta

Foi demonstrado que:

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