Escrever todos os produtos onde e são permutações de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever todos os produtos onde e são permutações de . Isso significa que estamos trabalhando com permutações do conjunto . Vamos precisar entender como funcionam as permutações e como compor essas permutações para encontrar todos os possíveis produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as permutações possíveis de . Como temos apenas dois elementos, , existem permutações:
  1. Permutação identidade ( ): Mapeia cada elemento para ele mesmo.
  2. Permutação trocada ( ): Troca os elementos.

Passo 3

Agora, precisamos formar todos os pares possíveis de e e calcular o produto . O produto de duas permutações é a composição delas, ou seja, primeiro aplicamos e depois .
Vamos fazer isso passo a passo:
    • Aplicamos depois : Resultado:
    • Aplicamos depois : Resultado:
    • Aplicamos depois : Resultado:
    • Aplicamos depois : Resultado:

Resposta

Os produtos são:

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Seja o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de .
b)
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Sejam e dois subespaços de . Mostre que a união desses dois subespaços não é um subespaço vetorial.
Escrever todos os produtos onde e são permutações de
que sendo