Escrever todos os produtos sigma odot varphi onde sigma e varphi são permutações de N2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever todos os produtos onde e são permutações de . Isso significa que estamos trabalhando com permutações do conjunto . Vamos precisar entender como funcionam as permutações e como compor essas permutações para encontrar todos os possíveis produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as permutações possíveis de sigma1 = 1 & 2 1 & 2 . Como temos apenas dois elementos, sigma2 = 1 & 2 2 & 1 , existem permutações:
  1. Permutação identidade ( ): Mapeia cada elemento para ele mesmo.
  2. Permutação trocada ( ): Troca os elementos.

Passo 3

Agora, precisamos formar todos os pares possíveis de sigma1(sigma1(1)) = sigma1(1) = 1 e sigma1(sigma1(2)) = sigma1(2) = 2 e calcular o produto sigma1 odot sigma1 = sigma1 . O produto de duas permutações é a composição delas, ou seja, primeiro aplicamos sigma1(sigma2(1)) = sigma1(2) = 2 e depois sigma1(sigma2(2)) = sigma1(1) = 1 .
Vamos fazer isso passo a passo:
  1. sigma1 odot sigma2 = sigma2
    • Aplicamos sigma2(sigma1(1)) = sigma2(1) = 2 depois sigma2(sigma1(2)) = sigma2(2) = 1 : sigma2 odot sigma1 = sigma2 sigma2(sigma2(1)) = sigma2(2) = 1 Resultado: sigma2(sigma2(2)) = sigma2(1) = 2
  2. sigma2 odot sigma2 = sigma1
    • Aplicamos depois : Resultado:
    • Aplicamos depois : Resultado:
    • Aplicamos depois : Resultado:

Resposta

Os produtos sigma1 odot sigma1 &= sigma1 sigma1 odot sigma2 &= sigma2 sigma2 odot sigma1 &= sigma2 sigma2 odot sigma2 &= sigma1 são:

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