Provar que
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o ponto
está localizado nas coordenadas
. Isso envolve geometria analítica, especificamente a fórmula da divisão de um segmento de reta em uma determinada razão. Para resolver isso, vamos usar a ideia de que
divide o segmento entre os pontos
e
na razão
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que nos dá as coordenadas de um ponto que divide um segmento em uma razão específica. Se
divide o segmento
na razão
, então as coordenadas de
são dadas por:
Essa fórmula basicamente pesa as coordenadas dos pontos
e
de acordo com a razão
.
Passo 3
Vamos reescrever a fórmula para facilitar a comparação com o que precisamos provar:
Como você pode ver, é a mesma expressão, só reorganizando os termos no numerador.
Passo 4
Agora, para provar que essa fórmula está correta, vamos considerar as distâncias. A distância de
a
deve ser
vezes a distância de
a
. Vamos verificar isso usando as coordenadas que encontramos.
Passo 5
Calculando a distância entre
e
:
Simplificando:
Passo 6
Calculando a distância entre
e
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos comparar as duas distâncias:
Isso mostra que
, que é exatamente a razão que queremos.
Resposta
Portanto, provamos que o ponto
está nas coordenadas
, dividindo o segmento
na razão
.