Provar que
(a) M=(x1+k x21+k, y1+k y21+k);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o ponto está localizado nas coordenadas . Isso envolve geometria analítica, especificamente a fórmula da divisão de um segmento de reta em uma determinada razão. Para resolver isso, vamos usar a ideia de que divide o segmento entre os pontos e na razão .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que nos dá as coordenadas de um ponto que divide um segmento em uma razão específica. Se M ( k x2 + x1k + 1, k y2 + y1k + 1 ) divide o segmento na razão , então as coordenadas de são dadas por:
Essa fórmula basicamente pesa as coordenadas dos pontos e de acordo com a razão .

Passo 3

Vamos reescrever a fórmula para facilitar a comparação com o que precisamos provar:
M ( x1 + k x21 + k, y1 + k y21 + k )
Como você pode ver, é a mesma expressão, só reorganizando os termos no numerador.

Passo 4

Agora, para provar que essa fórmula está correta, vamos considerar as distâncias. A distância de a deve ser vezes a distância de a . Vamos verificar isso usando as coordenadas que encontramos.

Passo 5

Calculando a distância entre d(A,M) = raiz ( x1 + k x21 + k - x1 )^2 + ( y1 + k y21 + k - y1 )^2 e d(A,M) = raiz ( k x2 - k x11 + k )^2 + ( k y2 - k y11 + k )^2 = k1 + k raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 :
Simplificando:

Passo 6

Calculando a distância entre d(M,B) = raiz ( x2 - x1 + k x21 + k )^2 + ( y2 - y1 + k y21 + k )^2 e d(M,B) = raiz ( (1 + k) x2 - x1 - k x21 + k )^2 + ( (1 + k) y2 - y1 - k y21 + k )^2 = 11 + k raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos comparar as duas distâncias:
d(A,M)d(M,B) = k1 + k raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^211 + k raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 = k
Isso mostra que , que é exatamente a razão que queremos.

Resposta

Portanto, provamos que o ponto está nas coordenadas , dividindo o segmento na razão .

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