Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o ponto está localizado nas coordenadas . Isso envolve geometria analítica, especificamente a fórmula da divisão de um segmento de reta em uma determinada razão. Para resolver isso, vamos usar a ideia de que divide o segmento entre os pontos e na razão .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que nos dá as coordenadas de um ponto que divide um segmento em uma razão específica. Se divide o segmento na razão , então as coordenadas de são dadas por:
Essa fórmula basicamente pesa as coordenadas dos pontos e de acordo com a razão .
Passo 3
Vamos reescrever a fórmula para facilitar a comparação com o que precisamos provar:
Como você pode ver, é a mesma expressão, só reorganizando os termos no numerador.
Passo 4
Agora, para provar que essa fórmula está correta, vamos considerar as distâncias. A distância de a deve ser vezes a distância de a . Vamos verificar isso usando as coordenadas que encontramos.
Passo 5
Calculando a distância entre e :
Simplificando:
Passo 6
Calculando a distância entre e :
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos comparar as duas distâncias:
Isso mostra que , que é exatamente a razão que queremos.
Resposta
Portanto, provamos que o ponto está nas coordenadas , dividindo o segmento na razão .