Seja V o espaço vetorial das funções f: R R. Mostre que W é um subespaço de V , nos seguintes casos: W=f(x) in F(R, R) mid f(3)=f(1), todas as funções com o mesmo valor em 3 e 1 .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede! Temos o espaço vetorial das funções . Queremos mostrar que , que é o conjunto de todas as funções que satisfazem , é um subespaço de . Para isso, vamos precisar usar os conceitos de subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: A função que associa 0 a todo ponto deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se duas funções estão em , a soma delas também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se uma função está em e multiplicamos essa função por qualquer número real, o resultado deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para .

Passo 3

1. O vetor zero está em f(3) = 0 ?
O vetor zero no espaço f(1) = 0 é a função para todo . Vamos ver se ela está em :
Como , a função zero está em .

Passo 4

2. f(3) = f(1) é fechado sob adição?
Sejam g(3) = g(1) e (f + g)(3) = f(3) + g(3) duas funções em (f + g)(1) = f(1) + g(1) . Isso significa que:
f(3) + g(3) = f(1) + g(1)
(f + g)(3) = (f + g)(1)
Vamos considerar a soma :
Como e , temos:
Portanto,
Isso mostra que também está em .

Passo 5

3. (c cdot f)(3) = c cdot f(3) é fechado sob multiplicação por escalar?
Seja (c cdot f)(1) = c cdot f(1) uma função em c cdot f(3) = c cdot f(1) e (c cdot f)(3) = (c cdot f)(1) um número real. Queremos ver se está em .
Calculando:
Como , temos:
Logo,
Isso mostra que também está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço de .

Exercícios relacionados

Provar que
(a) M=(x1+k x21+k, y1+k y21+k);
Considere a função f: R R dada por f(x)=|x-52|. Encontre:
f(-raiz2, 3)
Dada a matriz
A=[ccc 2 & 1 & -3 0 & 2 & 1 5 & 1 & 3 ]
Calcule:
b) det(A)
Considere a função f: R R dada por f(x)=|x-52|. Encontre:
f^-1(-3,5)