Seja V o espaço vetorial das funções . Mostre que W é um subespaço de V , nos seguintes casos: , todas as funções com o mesmo valor em 3 e 1 .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede! Temos o espaço vetorial das funções . Queremos mostrar que , que é o conjunto de todas as funções que satisfazem , é um subespaço de . Para isso, vamos precisar usar os conceitos de subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se:
Contém o vetor zero: A função que associa 0 a todo ponto deve estar em .
Fechado sob adição: Se duas funções estão em , a soma delas também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se uma função está em e multiplicamos essa função por qualquer número real, o resultado deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para .
Passo 3
1. O vetor zero está em ?
O vetor zero no espaço é a função para todo . Vamos ver se ela está em :
Como , a função zero está em .
Passo 4
2. é fechado sob adição?
Sejam e duas funções em . Isso significa que:
Vamos considerar a soma :
Como e , temos:
Portanto,
Isso mostra que também está em .
Passo 5
3. é fechado sob multiplicação por escalar?
Seja uma função em e um número real. Queremos ver se está em .
Calculando:
Como , temos:
Logo,
Isso mostra que também está em .
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço de .