Seja V o espaço vetorial das funções
. Mostre que W é um subespaço de V , nos seguintes casos:
, todas as funções com o mesmo valor em 3 e 1 .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede! Temos o espaço vetorial
das funções
. Queremos mostrar que
, que é o conjunto de todas as funções que satisfazem
, é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço se:
- Contém o vetor zero: A função que associa 0 a todo ponto deve estar em
. - Fechado sob adição: Se duas funções estão em
, a soma delas também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se uma função está em
e multiplicamos essa função por qualquer número real, o resultado deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para
.
Passo 3
1. O vetor zero está em
?
O vetor zero no espaço
é a função
para todo
. Vamos ver se ela está em
:
Como
, a função zero está em
.
Passo 4
2.
é fechado sob adição?
Sejam
e
duas funções em
. Isso significa que:
Vamos considerar a soma
:
Como
e
, temos:
Portanto,
Isso mostra que
também está em
.
Passo 5
3.
é fechado sob multiplicação por escalar?
Seja
uma função em
e
um número real. Queremos ver se
está em
.
Calculando:
Como
, temos:
Logo,
Isso mostra que
também está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
.