Provar que
converge usando os seguintes passos:
$(a) Mostrar que se
denota a soma parcial da série, temos
.
(Lembre que
)
$(a) Mostrar que se
(Lembre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer provar que a série
converge. Essa é a famosa série harmônica alternada. O que vamos precisar para resolver isso é entender como somar os primeiros
termos dessa série e mostrar que essa soma parcial,
, pode ser expressa de uma forma mais simples. Para isso, vamos usar uma técnica de somas parciais e algumas manipulações de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a soma parcial
com os primeiros
termos da série:
Isso significa que estamos somando termos alternados positivos e negativos até o termo número
.
Passo 3
Vamos separar a soma em pares de termos. Ou seja, vamos agrupar o primeiro e o segundo termo, o terceiro e o quarto, e assim por diante:
Cada par de termos tem a forma
, onde
varia de 1 a
.
Passo 4
Vamos simplificar cada par de termos. Temos:
Portanto, cada par de termos simplifica para
.
Passo 5
Agora, substituímos essa simplificação na soma parcial:
Resposta
Assim, mostramos que a soma parcial
da série harmônica alternada até
termos é igual a:
Exercícios relacionados
[1 ponto] Explique intuitivamente o mecanismo que permite que uma série de Fourier convirja para uma função descontínua, apesar das somas parciais de uma série de Fourier serem infinitamente diferenciáveis.
Provar que
converge usando os seguintes passos:
$(b) Mostrar que a sequência converge a um valor
.
$(b) Mostrar que a sequência
[1 ponto] Faça um esboço do gráfico da série de Fourier a mão para a soma parcial com 5 termos. Não é necessário justificar esta questão: use apenas a intuição que você adquiriu no estudo de séries de Fourier.
Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.