Provar que sumk=1^infty(-1)^k+1 1k converge usando os seguintes passos:
$(a) Mostrar que se (a) Mostrar que se denota a soma parcial da série, temos denota a soma parcial da série, temos .
(Lembre que (Lembre que )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer provar que a série converge. Essa é a famosa série harmônica alternada. O que vamos precisar para resolver isso é entender como somar os primeiros termos dessa série e mostrar que essa soma parcial, , pode ser expressa de uma forma mais simples. Para isso, vamos usar uma técnica de somas parciais e algumas manipulações de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a soma parcial s2n = sumk=1^2n (-1)^k+1 1k com os primeiros termos da série:
Isso significa que estamos somando termos alternados positivos e negativos até o termo número .

Passo 3

Vamos separar a soma em pares de termos. Ou seja, vamos agrupar o primeiro e o segundo termo, o terceiro e o quarto, e assim por diante:
s2n = (11 - 12) + (13 - 14) + cdots + (12n-1 - 12n)
Cada par de termos tem a forma , onde varia de 1 a .

Passo 4

Vamos simplificar cada par de termos. Temos:
12k-1 - 12k = 2k - (2k - 1)(2k-1)(2k) = 12k(2k-1)
Portanto, cada par de termos simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos essa simplificação na soma parcial:
s2n = sumk=1^n 12k(2k-1)

Resposta

Assim, mostramos que a soma parcial s2n = sumk=1^n 12k(2k-1) da série harmônica alternada até termos é igual a:

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y'' - 3y' + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = raiz(5)