Provar que se e são vetores de um espaço vetorial então:? implica que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que, se os vetores e satisfazem a condição de que é perpendicular a , então os comprimentos (ou magnitudes) de e são iguais. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como produto interno (produto escalar) e normas de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser perpendicular a . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos expandir esse produto escalar usando a propriedade distributiva do produto escalar:
Passo 4
Sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo, como , é igual ao quadrado do comprimento do vetor, ou seja, . Além disso, o produto escalar é comutativo, então . Aplicando isso, temos:
Passo 5
Agora, simplificando a equação acima:
Passo 6
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados da equação, obtemos:
Resposta
Portanto, mostramos que se é perpendicular a , então os comprimentos de e são iguais, ou seja, .