Provar que se u e v são vetores de um espaço vetorial então:?
(u+v) perp(u-v) implica que |u|=|v|

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que, se os vetores u e v satisfazem a condição de que u + v é perpendicular a u - v, então os comprimentos (ou magnitudes) de u e v são iguais. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como produto interno (produto escalar) e normas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa u + v ser perpendicular a u - v. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Então, podemos escrever:
(u + v) cdot (u - v) = 0

Passo 3

Agora, vamos expandir esse produto escalar usando a propriedade distributiva do produto escalar:
(u + v) cdot (u - v) = u cdot u - u cdot v + v cdot u - v cdot v

Passo 4

Sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo, como u cdot u, é igual ao quadrado do comprimento do vetor, ou seja, |u|^2. Além disso, o produto escalar é comutativo, então u cdot v = v cdot u. Aplicando isso, temos:
|u|^2 - |v|^2 = 0

Passo 5

Agora, simplificando a equação acima:
|u|^2 = |v|^2

Passo 6

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados da equação, obtemos:
|u| = |v|

Resposta

Portanto, mostramos que se (u + v) é perpendicular a (u - v), então os comprimentos de u e v são iguais, ou seja, |u| = |v|.

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