Provar que se
e
são vetores de um espaço vetorial então:?
implica que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que, se os vetores
e
satisfazem a condição de que
é perpendicular a
, então os comprimentos (ou magnitudes) de
e
são iguais. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como produto interno (produto escalar) e normas de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser perpendicular a
. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos expandir esse produto escalar usando a propriedade distributiva do produto escalar:
Passo 4
Sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo, como
, é igual ao quadrado do comprimento do vetor, ou seja,
. Além disso, o produto escalar é comutativo, então
. Aplicando isso, temos:
Passo 5
Agora, simplificando a equação acima:
Passo 6
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados da equação, obtemos:
Resposta
Portanto, mostramos que se
é perpendicular a
, então os comprimentos de
e
são iguais, ou seja,
.