Estude a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos:
r: X=(1,-1,1)+lambda(-2,1,-1) e s:rlry+z & =3 x+y-z & = & -6 (são paralelas)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço, chamadas de r e s. A tarefa é estudar a posição relativa delas, ou seja, descobrir se elas são paralelas, coincidentes (ou seja, se são a mesma reta) ou se são retas que se cruzam em um ponto. Para isso, vamos precisar entender as equações que definem cada reta e comparar seus vetores de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta r. Ela está dada na forma paramétrica:
X = (1, -1, 1) + lambda(-2, 1, -1)
Aqui, (1, -1, 1) é um ponto na reta r, e (-2, 1, -1) é o vetor de direção da reta r, que podemos chamar de vr:
vr = (-2, 1, -1)

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta s. Ela está definida pelo sistema de equações:
y + z = 3 x + y - z = -6
Para entender melhor a reta s, vamos resolver esse sistema para expressar suas coordenadas em termos de um parâmetro.

Passo 4

Vamos resolver o sistema para encontrar as coordenadas paramétricas da reta s. Podemos escolher uma das variáveis como parâmetro. Vamos escolher z = t.
Substituindo z = t na primeira equação:
y + t = 3 Rightarrow y = 3 - t
Agora, substituindo y = 3 - t e z = t na segunda equação:
x + (3 - t) - t = -6 Rightarrow x + 3 - 2t = -6 Rightarrow x = -6 - 3 + 2t = -9 + 2t
Então, as equações paramétricas da reta s são:
x = -9 + 2t y = 3 - t z = t
Podemos escrever a reta s na forma vetorial:
X = (-9, 3, 0) + t(2, -1, 1)
Aqui, (-9, 3, 0) é um ponto na reta s, e (2, -1, 1) é o vetor de direção da reta s, que podemos chamar de vs:
vs = (2, -1, 1)

Passo 5

Agora que temos os vetores de direção das duas retas, vr = (-2, 1, -1) e vs = (2, -1, 1), vamos verificar se eles são paralelos. Para isso, precisamos ver se um vetor é múltiplo escalar do outro.
Observando os componentes:
vs = -1 times vr
Pois:
(2, -1, 1) = -1 times (-2, 1, -1)
Isso significa que as retas r e s são paralelas, já que seus vetores de direção são múltiplos escalares.

Passo 6

Mesmo sabendo que as retas são paralelas, precisamos verificar se elas coincidem ou são retas distintas. Para isso, vamos verificar se o ponto de uma reta está na outra reta.
Vamos verificar se o ponto (1, -1, 1) da reta r está na reta s. Substituindo na equação da reta s:
y + z = -1 + 1 = 0 (neq 3) x + y - z = 1 -1 -1 = -1 (neq -6)
Como as equações não são satisfeitas, o ponto não está na reta s. Isso significa que as retas são paralelas e distintas, ou seja, não coincidem.

Resposta

As retas r e s são paralelas e não coincidentes, estando em posições relativas paralelas e distintas.

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