Estude a posição relativa das retas e nos seguintes casos: e (são paralelas)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço, chamadas de e . A tarefa é estudar a posição relativa delas, ou seja, descobrir se elas são paralelas, coincidentes (ou seja, se são a mesma reta) ou se são retas que se cruzam em um ponto. Para isso, vamos precisar entender as equações que definem cada reta e comparar seus vetores de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a reta . Ela está dada na forma paramétrica:
Aqui, é um ponto na reta , e é o vetor de direção da reta , que podemos chamar de :
Passo 3
Agora, vamos analisar a reta . Ela está definida pelo sistema de equações:
Para entender melhor a reta , vamos resolver esse sistema para expressar suas coordenadas em termos de um parâmetro.
Passo 4
Vamos resolver o sistema para encontrar as coordenadas paramétricas da reta . Podemos escolher uma das variáveis como parâmetro. Vamos escolher .
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo e na segunda equação:
Então, as equações paramétricas da reta são:
Podemos escrever a reta s na forma vetorial:
X = (-9, 3, 0) + t(2, -1, 1)
Aqui, (-9, 3, 0) é um ponto na reta s, e (2, -1, 1) é o vetor de direção da reta s, que podemos chamar de vs:
vs = (2, -1, 1)
Passo 5
Agora que temos os vetores de direção das duas retas, vr = (-2, 1, -1) e vs = (2, -1, 1), vamos verificar se eles são paralelos. Para isso, precisamos ver se um vetor é múltiplo escalar do outro.
Observando os componentes:
vs = -1 times vr
Pois:
(2, -1, 1) = -1 times (-2, 1, -1)
Isso significa que as retas r e s são paralelas, já que seus vetores de direção são múltiplos escalares.
Passo 6
Mesmo sabendo que as retas são paralelas, precisamos verificar se elas coincidem ou são retas distintas. Para isso, vamos verificar se o ponto de uma reta está na outra reta.
Vamos verificar se o ponto (1, -1, 1) da reta r está na reta s. Substituindo na equação da reta s:
y + z = -1 + 1 = 0 (neq 3) x + y - z = 1 -1 -1 = -1 (neq -6)
Como as equações não são satisfeitas, o ponto não está na reta s. Isso significa que as retas são paralelas e distintas, ou seja, não coincidem.
Resposta
As retas r e s são paralelas e não coincidentes, estando em posições relativas paralelas e distintas.