Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de estatística que pede para provar uma igualdade envolvendo médias e somatórios de dados. A matéria envolvida inclui noções de média, variância e covariância. Para resolver isso, vamos precisar manipular as fórmulas matemáticas passo a passo para chegar na igualdade proposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos da expressão. Temos e , que são as médias das sequências de dados e , respectivamente. As expressões e representam o desvio padrão de e . O desvio padrão mede o quanto os valores se afastam da média.

Passo 3

Vamos começar expandindo a expressão do lado esquerdo da igualdade:
Isso é basicamente a média do produto dos desvios padronizados de e .

Passo 4

Sabemos que a covariância entre e é dada por:
E os desvios padrões são:

Passo 5

Substituindo a covariância e os desvios padrões na expressão inicial, temos:

Passo 6

Simplificando os denominadores, percebemos que os termos se cancelam:

Passo 7

Vamos agora expandir os produtos no numerador e nos denominadores:
Numerador:
Denominador:

Passo 8

Substituindo essas expansões na nossa expressão, temos:

Resposta

Prontinho! A gente provou que:

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a) nenhuma peça defeituosa? R.:
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Salário Casal no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Homem 10 10 10 15 15 15 15 20 20 20
Mulher 5 10 10 5 10 10 15 10 10 15
Sabe-se que:
.
(a) Encontre o salário anual médio dos homens e o seu desvio padrão.