Prove que 1n sumi(xi-barxd p(x))(yi-baryd p(y))=sum xi yi-n barx baryraiz(sum xi^2-n barx^2)(sum yi^2-n bary^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de estatística que pede para provar uma igualdade envolvendo médias e somatórios de dados. A matéria envolvida inclui noções de média, variância e covariância. Para resolver isso, vamos precisar manipular as fórmulas matemáticas passo a passo para chegar na igualdade proposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos da expressão. Temos barx e bary, que são as médias das sequências de dados xi e yi, respectivamente. As expressões d p(x) e d p(y) representam o desvio padrão de x e y. O desvio padrão mede o quanto os valores se afastam da média.

Passo 3

Vamos começar expandindo a expressão do lado esquerdo da igualdade:
1n sumi(xi-barxd p(x))(yi-baryd p(y))
Isso é basicamente a média do produto dos desvios padronizados de x e y.

Passo 4

Sabemos que a covariância entre x e y é dada por:
Cov(x,y) = 1n sumi (xi - barx)(yi - bary)
E os desvios padrões são:
d p(x) = raiz1n sumi (xi - barx)^2 e d p(y) = raiz1n sumi (yi - bary)^2

Passo 5

Substituindo a covariância e os desvios padrões na expressão inicial, temos:
Cov(x,y)d p(x) cdot d p(y) = 1n sumi (xi - barx)(yi - bary)raiz1n sumi (xi - barx)^2 cdot raiz1n sumi (yi - bary)^2

Passo 6

Simplificando os denominadores, percebemos que os termos 1n se cancelam:
sumi (xi - barx)(yi - bary)raizsumi (xi - barx)^2 cdot raizsumi (yi - bary)^2

Passo 7

Vamos agora expandir os produtos no numerador e nos denominadores:
Numerador:
sumi (xi - barx)(yi - bary) = sum xi yi - n barx bary
Denominador:
raiz(sum xi^2 - n barx^2) (sum yi^2 - n bary^2)

Passo 8

Substituindo essas expansões na nossa expressão, temos:
sum xi yi - n barx baryraiz(sum xi^2 - n barx^2) (sum yi^2 - n bary^2)

Resposta

Prontinho! A gente provou que:
1n sumi(xi-barxd p(x))(yi-baryd p(y)) = sum xi yi-n barx baryraiz(sum xi^2-n barx^2)(sum yi^2-n bary^2)

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