Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de estatística que pede para provar uma igualdade envolvendo médias e somatórios de dados. A matéria envolvida inclui noções de média, variância e covariância. Para resolver isso, vamos precisar manipular as fórmulas matemáticas passo a passo para chegar na igualdade proposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos da expressão. Temos
e
, que são as médias das sequências de dados
e
, respectivamente. As expressões
e
representam o desvio padrão de
e
. O desvio padrão mede o quanto os valores se afastam da média.
Passo 3
Vamos começar expandindo a expressão do lado esquerdo da igualdade:
Isso é basicamente a média do produto dos desvios padronizados de
e
.
Passo 4
Sabemos que a covariância entre
e
é dada por:
E os desvios padrões são:
Passo 5
Substituindo a covariância e os desvios padrões na expressão inicial, temos:
Passo 6
Simplificando os denominadores, percebemos que os termos
se cancelam:
Passo 7
Vamos agora expandir os produtos no numerador e nos denominadores:
Numerador:
Denominador:
Passo 8
Substituindo essas expansões na nossa expressão, temos:
Resposta
Prontinho! A gente provou que: