Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de estatística que pede para provar uma igualdade envolvendo médias e somatórios de dados. A matéria envolvida inclui noções de média, variância e covariância. Para resolver isso, vamos precisar manipular as fórmulas matemáticas passo a passo para chegar na igualdade proposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos da expressão. Temos
e
, que são as médias das sequências de dados
e
, respectivamente. As expressões
e
representam o desvio padrão de
e
. O desvio padrão mede o quanto os valores se afastam da média.
Passo 3
Vamos começar expandindo a expressão do lado esquerdo da igualdade:
Isso é basicamente a média do produto dos desvios padronizados de
e
.
Passo 4
Sabemos que a covariância entre
e
é dada por:
E os desvios padrões são:
Passo 5
Substituindo a covariância e os desvios padrões na expressão inicial, temos:
Passo 6
Simplificando os denominadores, percebemos que os termos
se cancelam:
Passo 7
Vamos agora expandir os produtos no numerador e nos denominadores:
Numerador:
Denominador:
Passo 8
Substituindo essas expansões na nossa expressão, temos:
Resposta
Prontinho! A gente provou que:
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a) nenhuma peça defeituosa? R.:
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Salário | Casal no | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Homem
|
10 | 10 | 10 | 15 | 15 | 15 | 15 | 20 | 20 | 20 | |
Mulher
|
5 | 10 | 10 | 5 | 10 | 10 | 15 | 10 | 10 | 15 |
Sabe-se que:
.
(a) Encontre o salário anual médio dos homens e o seu desvio padrão.
(a) Encontre o salário anual médio dos homens e o seu desvio padrão.