Prove que a + b e a^n + b^n têm a mesma paridade para todo a, b e n inteiros positivos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a soma de dois números inteiros positivos, , e a soma de seus n-ésimos poderes, , têm a mesma paridade. Paridade, nesse contexto, significa se um número é par ou ímpar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de paridade e propriedades de números inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par ou ímpar:
  • Um número é par se for divisível por 2, ou seja, pode ser escrito como , onde k é um inteiro.
  • Um número é ímpar se não for divisível por 2, podendo ser escrito como , onde k é um inteiro.

Passo 3

Agora, vamos analisar todas as possibilidades de paridade para a e b. Existem quatro casos possíveis:
  1. Ambos a e b são pares
  2. a é par e b é ímpar
  3. a é ímpar e b é par
  4. Ambos a e b são ímpares

Passo 4

Vamos examinar cada caso para ver a paridade de e :
Caso 1: Ambos a e b são pares
  • Sei que e , onde k e m são inteiros.
  • Então, , que é par.
  • Além disso, e .
  • Então, , que também é par.
Caso 2: a é par e b é ímpar
  • Sei que e .
  • Então, , que é ímpar.
  • Além disso, (par) e .
  • Como qualquer potência de um número ímpar continua sendo ímpar, para algum inteiro p.
  • Então, , que é ímpar.
Caso 3: a é ímpar e b é par
  • Este caso é semelhante ao Caso 2, apenas trocando a e b.
  • Portanto, tanto quanto serão ímpares.
Caso 4: Ambos a e b são ímpares
  • Sei que e .
  • Então, , que é par.
  • Além disso, e .
  • Como mencionado antes, potências de números ímpares continuam sendo ímpares: e .
  • Então, , que é par.

Resposta

Em todos os casos possíveis, e têm a mesma paridade. Portanto, provamos que e são sempre ambos pares ou ambos ímpares para todo a, b e n inteiros positivos.

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