Prove que
e
têm a mesma paridade para todo
e
inteiros positivos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a soma de dois números inteiros positivos,
, e a soma de seus
-ésimos poderes,
, têm a mesma paridade. Paridade, nesse contexto, significa se um número é par ou ímpar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de paridade e propriedades de números inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par ou ímpar:
- Um número é par se for divisível por 2, ou seja, pode ser escrito como
, onde é um inteiro. - Um número é ímpar se não for divisível por 2, podendo ser escrito como
, onde é um inteiro.
Passo 3
Agora, vamos analisar todas as possibilidades de paridade para
e
. Existem quatro casos possíveis:
- Ambos
e são pares -
é par e é ímpar -
é ímpar e é par - Ambos
e são ímpares
Passo 4
Vamos examinar cada caso para ver a paridade de
e
:
Caso 1: Ambos
e
são pares
- Sei que
e , onde e são inteiros. - Então,
, que é par. - Além disso,
e . - Então,
, que também é par.
Caso 2:
é par e
é ímpar
- Sei que
e . - Então,
, que é ímpar. - Além disso,
(par) e . - Como qualquer potência de um número ímpar continua sendo ímpar,
para algum inteiro . - Então,
, que é ímpar.
Caso 3:
é ímpar e
é par
- Este caso é semelhante ao Caso 2, apenas trocando
e . - Portanto, tanto
quanto serão ímpares.
Caso 4: Ambos
e
são ímpares
- Sei que
e . - Então,
, que é par. - Além disso,
e . - Como mencionado antes, potências de números ímpares continuam sendo ímpares:
e . - Então,
, que é par.
Resposta
Em todos os casos possíveis,
e
têm a mesma paridade. Portanto, provamos que
e
são sempre ambos pares ou ambos ímpares para todo
e
inteiros positivos.
Exercícios relacionados
Prove que
para todo inteiro
.
Unscramble the sentences:
a) a/movie/ her/ cleaned/and/She/ house/ watched
a) a/movie/ her/ cleaned/and/She/ house/ watched
Prove que
.
Prove que
para todo inteiro
.