Prove que
para todo inteiro
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que provar que a soma dos termos da forma
indo de
até
é igual a
. Isso envolve conhecimentos de séries e frações parciais. Então, vamos precisar usar uma técnica chamada frações parciais para simplificar os termos da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da soma, que é
. A ideia aqui é quebrar essa fração em duas frações mais simples que somam até dar a original. Isso é útil porque facilita a soma dos termos.
Passo 3
Aplicamos as frações parciais na expressão
. Queremos encontrar números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 4
Agora, expande-se a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Ou seja:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
De
, substituímos na primeira equação:
Então, encontramos que
e
. Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na soma original:
Passo 7
Vamos escrever os primeiros termos da soma para ver o que acontece:
Observamos que muitos termos se cancelam:
Tudo que não é o primeiro e o último termo se cancela.
Passo 8
Após o cancelamento, sobram apenas:
Para simplificar, colocamos em fração:
Resposta
Portanto, provamos que:
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Unscramble the sentences:
a) a/movie/ her/ cleaned/and/She/ house/ watched
a) a/movie/ her/ cleaned/and/She/ house/ watched
Prove que, se
é um número primo, então ele não pode ser escrito como a diferença dos quadrados de dois naturais não-consecutivos.
Prove que
e
têm a mesma paridade para todo
e
inteiros positivos.
Prove que
.