Prove que sumi=1^n 1i cdot(i+1)=nn+1 para todo inteiro n >= 1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que provar que a soma dos termos da forma 1i cdot (i+1) indo de i=1 até i=n é igual a nn+1. Isso envolve conhecimentos de séries e frações parciais. Então, vamos precisar usar uma técnica chamada frações parciais para simplificar os termos da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da soma, que é 1i cdot (i+1). A ideia aqui é quebrar essa fração em duas frações mais simples que somam até dar a original. Isso é útil porque facilita a soma dos termos.

Passo 3

Aplicamos as frações parciais na expressão 1i cdot (i+1). Queremos encontrar números A e B tais que:
1i cdot (i+1) = Ai + Bi+1
Multiplicando ambos os lados por i(i+1) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(i+1) + B(i)

Passo 4

Agora, expande-se a expressão:
1 = A i + A + B i
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (A + B)i + A
Para que essa igualdade seja válida para todo i, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Ou seja:
A + B = 0 (coeficiente de i)
A = 1 (termo constante)

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
De A = 1, substituímos na primeira equação:
1 + B = 0 Rightarrow B = -1
Então, encontramos que A = 1 e B = -1. Portanto:
1i cdot (i+1) = 1i - 1i+1

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na soma original:
sumi=1^n 1i cdot (i+1) = sumi=1^n ( 1i - 1i+1 )

Passo 7

Vamos escrever os primeiros termos da soma para ver o que acontece:
( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + dots + ( 1n - 1n+1 )
Observamos que muitos termos se cancelam:
11 - 12 + 12 - 13 + 13 - 14 + dots + 1n - 1n+1
Tudo que não é o primeiro e o último termo se cancela.

Passo 8

Após o cancelamento, sobram apenas:
11 - 1n+1 = 1 - 1n+1
Para simplificar, colocamos em fração:
1 - 1n+1 = n+1n+1 - 1n+1 = n+1 - 1n+1 = nn+1

Resposta

Portanto, provamos que:
sumi=1^n 1i cdot (i+1) = nn+1

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