Prove que
para todo inteiro
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Precisamos provar que a soma dos termos de uma progressão geométrica finita, onde cada termo é
(com
variando de 0 até
), é igual a
. Aqui, estamos trabalhando com progressão geométrica, que é uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante
. Para resolver, vamos usar propriedades das somas de progressões geométricas.
Passo 2
Vamos escrever a soma que queremos calcular:
Sabemos que
, então a soma fica:
Passo 3
Agora, para facilitar a soma, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Passo 4
Temos agora duas equações:
Vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Passo 5
Ao subtrair, todos os termos intermediários se cancelam:
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 6
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Prove que
.
Prove que
e
têm a mesma paridade para todo
e
inteiros positivos.
Complete the sentences with a suitable verb in the past form
b) After dinner, she on the sofa to watch soap operas
b) After dinner, she
Calcule os limites justificando cada passagem pelas Leis do Limite que forem usadas.
9.
9.