Prove que sumi=0^n q^i=q^n+1-1q-1 para todo inteiro n >= 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Precisamos provar que a soma dos termos de uma progressão geométrica finita, onde cada termo é (com variando de 0 até ), é igual a . Aqui, estamos trabalhando com progressão geométrica, que é uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante . Para resolver, vamos usar propriedades das somas de progressões geométricas.

Passo 2

Vamos escrever a soma que queremos calcular:
S = sumi=0^n q^i = q^0 + q^1 + q^2 + cdots + q^n
Sabemos que S = 1 + q + q^2 + cdots + q^n , então a soma fica:

Passo 3

Agora, para facilitar a soma, vamos multiplicar ambos os lados da equação por qS = q cdot 1 + q cdot q + q cdot q^2 + cdots + q cdot q^n = q + q^2 + q^3 + cdots + q^n+1 :

Passo 4

Temos agora duas equações:
S = 1 + q + q^2 + cdots + q^n
qS = q + q^2 + q^3 + cdots + q^n+1
Vamos subtrair a segunda equação da primeira:
S - qS = (1 + q + q^2 + cdots + q^n) - (q + q^2 + q^3 + cdots + q^n+1)

Passo 5

Ao subtrair, todos os termos intermediários se cancelam:
S - qS = 1 - q^n+1
Fatorando S(1 - q) = 1 - q^n+1 do lado esquerdo:

Passo 6

Para isolar S = 1 - q^n+11 - q , dividimos ambos os lados por S = q^n+1 - 1q - 1 :
Multiplicando numerador e denominador por para simplificar:

Resposta

Portanto, provamos que:
sumi=0^n q^i = q^n+1 - 1q - 1

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