Prove que
para todo inteiro
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Precisamos provar que a soma dos termos de uma progressão geométrica finita, onde cada termo é
(com
variando de 0 até
), é igual a
. Aqui, estamos trabalhando com progressão geométrica, que é uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante
. Para resolver, vamos usar propriedades das somas de progressões geométricas.
Passo 2
Vamos escrever a soma que queremos calcular:
Sabemos que
, então a soma fica:
Passo 3
Agora, para facilitar a soma, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Passo 4
Temos agora duas equações:
Vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Passo 5
Ao subtrair, todos os termos intermediários se cancelam:
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 6
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Resposta
Portanto, provamos que: