Prove by vector relations that two lines in the -plane ; ) are perpendicular if their slopes are the negative reciprocals of each other.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para provar, usando relações vetoriais, que duas retas no plano , dadas por e , são perpendiculares se seus coeficientes angulares são negativos recíprocos. Vamos precisar entender de geometria analítica e vetores para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar o coeficiente angular (inclinação) de uma reta. Para uma reta na forma , o coeficiente angular é .

Passo 3

Aplicando isso às nossas retas:
  • Para , o coeficiente angular é .
  • Para , o coeficiente angular é .

Passo 4

Dizemos que duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares é :

Passo 5

Substituindo os valores de e :

Passo 6

Para que as retas sejam perpendiculares, precisamos que:
O que implica:

Resposta

Portanto, as retas e são perpendiculares porque os seus coeficientes angulares são negativos recíprocos, ou seja, .

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