Prove by vector relations that two lines in the x y-plane (L1: b1 x+b2 y= c; L2: b1^prime x+b2^prime y=c^prime ) are perpendicular if their slopes are the negative reciprocals of each other.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para provar, usando relações vetoriais, que duas retas no plano , dadas por e , são perpendiculares se seus coeficientes angulares são negativos recíprocos. Vamos precisar entender de geometria analítica e vetores para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar o coeficiente angular (inclinação) de uma reta. Para uma reta na forma , o coeficiente angular é .

Passo 3

Aplicando isso às nossas retas:
  • Para , o coeficiente angular é .
  • Para , o coeficiente angular é .

Passo 4

Dizemos que duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares é m1 times m2 = -1 :

Passo 5

Substituindo os valores de (-b1b2) times (-b1^primeb2^prime) = b1b1^primeb2b2^prime e :

Passo 6

Para que as retas sejam perpendiculares, precisamos que:
b1b1^primeb2b2^prime = -1
O que implica:
b1b1^prime = -b2b2^prime

Resposta

Portanto, as retas e são perpendiculares porque os seus coeficientes angulares são negativos recíprocos, ou seja, .

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