Prove by vector relations that two lines in the
-plane
;
) are perpendicular if their slopes are the negative reciprocals of each other.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para provar, usando relações vetoriais, que duas retas no plano
, dadas por
e
, são perpendiculares se seus coeficientes angulares são negativos recíprocos. Vamos precisar entender de geometria analítica e vetores para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar o coeficiente angular (inclinação) de uma reta. Para uma reta na forma
, o coeficiente angular
é
.
Passo 3
Aplicando isso às nossas retas:
- Para
, o coeficiente angular é . - Para
, o coeficiente angular é .
Passo 4
Dizemos que duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares é
:
Passo 5
Substituindo os valores de
e
:
Passo 6
Para que as retas sejam perpendiculares, precisamos que:
O que implica:
Resposta
Portanto, as retas
e
são perpendiculares porque os seus coeficientes angulares são negativos recíprocos, ou seja,
.