Prove que, para cada número cada número natural n, vale a seguinte desigualdade:
raiz(2 raiz(3 raiz(4 raiz(... raiz((n-1) raiz(n))))) < 3

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma desigualdade que envolve uma raiz quadrada bem complicada. Basicamente, para qualquer número natural , queremos provar que:
Vamos usar conhecimento de sequências e indução matemática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura dessa expressão. A gente tem raízes quadradas aninhadas que vão de 2 até . Para simplificar, vamos definir uma sequência onde cada termo depende do próximo:
Até chegarmos em .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que para todo , . Vamos provar isso usando indução matemática, que é uma técnica onde a gente prova que algo é verdadeiro para um caso inicial e que se for verdadeiro para um caso qualquer, então também é verdadeiro para o próximo caso.

Passo 4

Caso Base: Começamos com . Sabemos que . Para , temos porque (já que é um número natural e ).

Passo 5

Passo Indutivo: Suponha que para algum , seja verdadeiro. Queremos mostrar que então .
Sabemos que , então:
Como , . Para , , mas já sabemos que estamos querendo manter , então temos que ajustar nossa hipótese.
Na verdade, para garantir que , precisamos que . Sabendo que , então:
Para que , precisamos que . Portanto, nossa hipótese funciona para .

Passo 6

Considerando :
Se , então:
Então, a desigualdade é válida para .

Passo 7

Como mostramos que para , , e que se então para , por indução, concluímos que:

Resposta

Para todo número natural , a desigualdade é verdadeira:

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