Prove que, para cada número cada número natural , vale a seguinte desigualdade:
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma desigualdade que envolve uma raiz quadrada bem complicada. Basicamente, para qualquer número natural , queremos provar que:
Vamos usar conhecimento de sequências e indução matemática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura dessa expressão. A gente tem raízes quadradas aninhadas que vão de 2 até . Para simplificar, vamos definir uma sequência onde cada termo depende do próximo:
Até chegarmos em .
Passo 3
Agora, queremos mostrar que para todo , . Vamos provar isso usando indução matemática, que é uma técnica onde a gente prova que algo é verdadeiro para um caso inicial e que se for verdadeiro para um caso qualquer, então também é verdadeiro para o próximo caso.
Passo 4
Caso Base: Começamos com . Sabemos que . Para , temos porque (já que é um número natural e ).
Passo 5
Passo Indutivo: Suponha que para algum , seja verdadeiro. Queremos mostrar que então .
Sabemos que , então:
Como , . Para , , mas já sabemos que estamos querendo manter , então temos que ajustar nossa hipótese.
Na verdade, para garantir que , precisamos que . Sabendo que , então:
Para que , precisamos que . Portanto, nossa hipótese funciona para .
Passo 6
Considerando :
Se , então:
Então, a desigualdade é válida para .
Passo 7
Como mostramos que para , , e que se então para , por indução, concluímos que:
Resposta
Para todo número natural , a desigualdade é verdadeira: