Prove, para
, as seguintes proposições:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, para todo número natural
, a soma
é igual a
Vamos usar indução matemática para resolver esse problema. A indução matemática é uma técnica usada para provar que uma determinada afirmação é verdadeira para todos os números naturais, começando pelo caso base e, em seguida, assumindo que é verdadeira para um caso
e provando para
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, onde
.
Substituindo
na soma, temos:
Agora, substituindo
na expressão da direita:
Como ambos os lados são iguais quando
, o caso base está comprovado.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é conhecida como hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos provar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
.
Vamos considerar a soma para
:
Simplificando o último termo:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até
:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos colocar as duas frações com denominador comum:
Expandindo o numerador:
e
Somando esses termos:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Fatorando o numerador:
Portanto, a expressão se torna:
Cancelando
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Observamos que a expressão final é exatamente a forma que queríamos mostrar para
:
Isso confirma que, se a afirmação é verdadeira para
, então também é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a proposição
é verdadeira para todo número natural
.