Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1^2/1.3 + 2^2/3.5 + ... + n^2/(2n-1)(2n+1) = n(n+1)/2(2n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, para todo número natural , a soma
é igual a
Vamos usar indução matemática para resolver esse problema. A indução matemática é uma técnica usada para provar que uma determinada afirmação é verdadeira para todos os números naturais, começando pelo caso base e, em seguida, assumindo que é verdadeira para um caso e provando para .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, onde .
Substituindo na soma, temos:
Agora, substituindo na expressão da direita:
Como ambos os lados são iguais quando , o caso base está comprovado.

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é conhecida como hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos provar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para .
Vamos considerar a soma para :
Simplificando o último termo:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até :

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos colocar as duas frações com denominador comum:
Expandindo o numerador:
e
Somando esses termos:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Fatorando o numerador:
Portanto, a expressão se torna:
Cancelando :
Isso simplifica para:

Passo 7

Observamos que a expressão final é exatamente a forma que queríamos mostrar para :
Isso confirma que, se a afirmação é verdadeira para , então também é verdadeira para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a proposição
é verdadeira para todo número natural .

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