Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância presente. Se, para uma quantidade inicial de substância de 100 mg , se observa um decréscimo de 5 % após dois anos, determine
o tempo necessário para uma redução de 10 % da quantidade inicial.

Passo 1

Vamos entender a questão! Temos uma substância radioativa que diminui de quantidade de forma proporcional à quantidade que existe. Isso é chamado de decrescimento exponencial. A gente sabe que, inicialmente, temos 100 mg dessa substância. Depois de dois anos, essa quantidade diminui 5%, ou seja, resta 95 mg. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo vai levar para essa quantidade diminuir 10%, chegando a 90 mg.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do decrescimento exponencial:
Onde:
  • é a quantidade de substância no tempo
  • é a quantidade inicial
  • é a constante de decaimento
  • é a base dos logaritmos naturais

Passo 3

Sabemos que após 2 anos, a quantidade diminuiu 5%, então temos:
Precisamos encontrar o valor de .

Passo 4

Vamos isolar :
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :

Passo 5

Resolvendo para :
Calculando :
Então:

Passo 6

Agora, queremos encontrar o tempo para que a quantidade diminua 10%, ou seja, para que reste 90 mg:
Isolando :
Aplicamos o logaritmo natural:

Passo 7

Resolvendo para :
Calculando :
Então:

Resposta

O tempo necessário para que a quantidade inicial de substância diminua 10% é aproximadamente 4,11 anos.

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