Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância presente. Se, para uma quantidade inicial de substância de 100 mg , se observa um decréscimo de
após dois anos, determine
o tempo necessário para uma redução de
da quantidade inicial.
o tempo necessário para uma redução de
Passo 1
Vamos entender a questão! Temos uma substância radioativa que diminui de quantidade de forma proporcional à quantidade que existe. Isso é chamado de decrescimento exponencial. A gente sabe que, inicialmente, temos 100 mg dessa substância. Depois de dois anos, essa quantidade diminui 5%, ou seja, resta 95 mg. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo vai levar para essa quantidade diminuir 10%, chegando a 90 mg.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do decrescimento exponencial:
Onde:
-
é a quantidade de substância no tempo -
é a quantidade inicial -
é a constante de decaimento -
é a base dos logaritmos naturais
Passo 3
Sabemos que após 2 anos, a quantidade diminuiu 5%, então temos:
Precisamos encontrar o valor de
.
Passo 4
Vamos isolar
:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Passo 5
Resolvendo para
:
Calculando
:
Então:
Passo 6
Agora, queremos encontrar o tempo
para que a quantidade diminua 10%, ou seja, para que reste 90 mg:
Isolando
:
Aplicamos o logaritmo natural:
Passo 7
Resolvendo para
:
Calculando
:
Então:
Resposta
O tempo necessário para que a quantidade inicial de substância diminua 10% é aproximadamente 4,11 anos.