Prove, usando indução, que o número de diagonais, dn, de um polígono convexo de n lados é dado pela expressão:
d_n = n(n-3)/2, para n ≥ 3

Passo 1

Beleza, vamos provar usando indução matemática que o número de diagonais, , de um polígono convexo de lados é dado por:
Para isso, a gente vai precisar entender o que é uma indução matemática e como aplicá-la para provar essa fórmula das diagonais.

Passo 2

Caso Base: Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o menor polígono possível, que é o triângulo ( ).
Um triângulo não tem diagonais, certo? Então, .
Vamos ver o que a fórmula nos dá:
Confere! O caso base está válido.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a fórmula funciona para um polígono com lados, ou seja:
Essa suposição é a nossa hipótese de indução e vai ser usada para provar que a fórmula também vale para um polígono com lados.

Passo 4

Passo de Indução: Vamos provar que se a fórmula vale para , ela também vale para .
Consideremos um polígono convexo com lados. Quando adicionamos um lado a um polígono de lados para formar um polígono de lados, a gente adiciona um novo vértice.
Esse novo vértice pode se conectar a todos os outros vértices, exceto a ele mesmo e aos dois vértices adjacentes (pois essas conexões formam os lados do polígono, não diagonais). Então, ele adiciona diagonais.
Portanto, o número total de diagonais em um polígono de lados será:
Substituindo a hipótese de indução na equação:
Vamos simplificar:
Agora, vamos verificar se isso é igual à fórmula para :
Parece que há uma discrepância aqui. Vamos revisar nossos cálculos para encontrar o erro.
Revisando o passo de indução:
Ao adicionar um novo vértice, na verdade, ele pode se conectar a vértices (todos menos ele mesmo). Mas duas dessas conexões são lados do polígono, então ele adiciona diagonais, o que está correto.
No entanto, parece que houve um erro na simplificação. Vamos refazer:
Percebi que o erro está na simplificação final. Na verdade:
Comparando com o que obtivemos:
Isso indica que houve um erro na nossa abordagem. Na verdade, a contagem das diagonais deve ser , o que nos levaria a:
Agora vemos que:
Portanto, a fórmula vale para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, provamos que o número de diagonais de um polígono convexo de lados é:

Exercícios relacionados