Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para provar que as funções a seguir são contínuas no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que a função é contínua no ponto . Isso está dentro do conteúdo de continuidade de funções e limites. Para resolver, vamos usar a definição de continuidade e aplicar algumas propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definido: ou seja, o valor da função em existe.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar essas três condições para no ponto .

Passo 3

1. Verificar se está definido:
Vamos calcular :
Como o denominador é diferente de zero, está definido e vale .

Passo 4

2. Calcular o limite de quando se aproxima de :
Vamos calcular:
Como tanto o numerador quanto o denominador são funções polinomiais, que são contínuas em todos os pontos reais, podemos simplesmente substituir por :
Então, o limite existe e é igual a .

Passo 5

3. Comparar o limite com :
Já vimos que:
Como ambos são iguais, as três condições para a continuidade são satisfeitas.

Resposta

Portanto, a função é contínua no ponto .

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Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). .
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Prove cada proposição utilizando a definição de limite.