Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para provar que as funções a seguir são contínuas no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que a função
é contínua no ponto
. Isso está dentro do conteúdo de continuidade de funções e limites. Para resolver, vamos usar a definição de continuidade e aplicar algumas propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem verdadeiras:
-
está definido: ou seja, o valor da função em existe. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar essas três condições para
no ponto
.
Passo 3
1. Verificar se
está definido:
Vamos calcular
:
Como o denominador
é diferente de zero,
está definido e vale
.
Passo 4
2. Calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Vamos calcular:
Como tanto o numerador quanto o denominador são funções polinomiais, que são contínuas em todos os pontos reais, podemos simplesmente substituir
por
:
Então, o limite existe e é igual a
.
Passo 5
3. Comparar o limite com
:
Já vimos que:
Como ambos são iguais, as três condições para a continuidade são satisfeitas.
Resposta
Portanto, a função
é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
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Explique por que as seguintes funções são descontínuas no número dado:
em
Prove cada proposição utilizando a definição
de limite.